Gambaran di atas dikenal juga dengan istilah segiempat tali busur. Bagaimana cara mencari atau menghitung luas segiempat tali busur tersebut?
Rumus menghitung Luas segiempat tali busur adalah:
$L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
Pembuktian rumus di atas sebagai berikut, (Perhatikan gambar di atas)
$PQ = a, \, QR = b, \, RS = c, \, SP = a \\ \text {perhatikan sudut Q dan S} \\ Q + S = 180^\circ \rightarrow S = 180^\circ- Q \\ \cos S = \cos (180^\circ - Q) \rightarrow \cos S = - \cos S \\ \sin S = \sin (180^\circ - Q) \rightarrow \sin S = \sin Q \\ \text {Cari PR pada segitiga QPR dan SPR dengan aturan Cos} \\ PR^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos Q \\ PR^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos S \rightarrow PR^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos Q) \\ \text {samakan PR=PR} \\ PR^2 = PR^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos Q = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos Q) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos Q = c^2 + d^2 + 2cd \cos Q \\ \cos Q = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)}$
Anda ingat bentuk faktor aljabar $X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$
Ingat juga identitas trigonometri: $\sin ^2 Q + \cos ^2 Q = 1 $
Misalkan: $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$\begin{align} \sin ^2 Q & = 1 - \cos ^2 Q \\ \sin ^2 Q & = (1 + \cos Q )(1 - \cos Q) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c -d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a -b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c -d)(a+b -c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a -b)(c+d -a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s -d)(s -c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s -b)(s -a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 Q & = \frac{4(s -a)(s -b)(s -c)(s -d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin Q & = \sqrt{\frac{4(s -a)(s -b)(s -c)(s -d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin Q & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s -a)(s -b)(s -c)(s -d)} \end{align}$
Sekarang kita akan cari Luas PQRS
$\begin{align} \text{Luas PQRS } & = \text{Luas QPR } + \text{Luas SPR } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin Q + \frac{1}{2}cd\sin Q \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin Q \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Catatan: Sesuai luas segitiga dengan mengunakan sinus,
$ \text{Luas QPR } = \frac{1}{2}ab \sin Q $
$ \text{Luas SPR } = \frac{1}{2}cd \sin S = \frac{1}{2}cd\sin Q $
Jika anda telah tahu rumus di mencari luas segiempat tali busur di atas, maka tidak akan sukar untuk mengaplikasikannya. Anda cukup menghitung dengan angka-angka yang disedikan soal
Jadilah Komentator Pertama untuk "Cara Menghitung Luas Segiempat Sembarang dalam Lingkaran"
Post a Comment