Cara Menentukan Invers Kiri dan Invers Kanan Matriks

martha yunanda Ilmu, matriks

Pada pembahasan invers sebuah matriks perlu diketahui mengenai syarat sebuah matriks memiliki invers atau tidak. Kapan sebuah matriks dikatakan memiliki invers? Jawabannya adalah ketika determian matriks tersebut tidak nol. Dalam teorinya bisa dikatakan,  Untuk matriks A (nxn) memiliki invers B (nxn) jika dan hanya jika AB=BA = I, I adalah matriks identitas.

Namun bagaimana jika baris dan kolom matriks tidak sama? Apakah sebuah matriks dengan baris dan kolom yang tidak sama memiliki invers? Mungkin saja!. Sesuai dengan ketentuan matriks bila AB = I maka salah satunya adalah invers.

Ketika sebuah matriks memiliki banyak baris dan kolom tidak sama, disini dikenal adanya invers kiri dan invers kanan matriks. Untuk lebih memahami apa itu invers kiri dan invers kanan sebuah matriks mari kita lihat contoh soal invers kiri dan invers kanan matriks tersebut.

Contoh Soal dan Pembahasan Invers kiri dan Invers Kanan Matriks

Contoh 1 : Menentukan Invers Kiri dan Invers Kanan Matriks.

Misalkan diketahui Matriks $A =  \begin{pmatrix}1 &2 \\ 1 & 3\\4 &7\end{pmatrix}$

$dan matriks B =  \begin{pmatrix}1 &  -2& 0\\ -1&  1& 0\end{pmatrix}$.

$AB = \begin{pmatrix}1 &2 \\1 & 3\\4 &7\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}1 &  -2& 0\\ -1&  1& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &  0& 1\\0 &  1& 0\\5 & -1 & 0\end{pmatrix}$.

Hasil perkalian matriks yang didapat bukanlah matriks identitas. Sekarang coba kita cari BA.

$BA =  \begin{pmatrix}1 &  -2& 0\\ -1&  1& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &2 \\1 & 3\\4 &7 \end{pmatrix}   = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$. 

Hasil perkalian BA menghasilkan matriks identitas. Dengan begitu bisa dikatakan B adalah invers kiri dari A. ( ketika dikalikan dengan A, dan posisinya di KIRI maka didapat matriks identitas). Berdasarkan contoh 1, bisa kita membuat defenisi invers kiri atau invers kanan dari matriks adalah:

A matriks mxn dan B adalah matriks berukuran nxm. B invers kiri dari A jika dan hanya jika BA = I. B invers kanan dari A jika dan hanya jika AB = I.

Contoh 2 : Mencari  invers kanan sebuah matriks.

Jika $matriks A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\ 0 &1  &3  &4 \\  1& 1 &4  &2 \end{pmatrix}$. 

Tentukan invers kanan dari matriks tersebut!

Sesuai defenisi di atas, invers kanan dari matriks A adalah sebuah matrik (misalkan B) dimana AB = I. Karena ukuran matriks A 3x4 maka matriks B yang bersesuaian adalah apabila ukuran matriks tersebut 4x3. Dan bila dikalikan akan membentuk matriks identitas berukuran 3x3.

Untuk mencari matriks tersebut kita gunakan OBE (operasi baris elementer matriks A. Sehingga kita akan peroleh seperti berikut,

Karena bagian kiri (ambil yang 3x3 saja) maka Invers kanan matriks tersebut adalah bagian yang kanan dan ditambahkan suatu baris akhir 0,0,0 (selalu ; karena kita butuh amtriks B yang berukuran 4x3 yaitu:

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 3 & 4 & -3\\  -1& -1 & 1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$.

Untuk membuktikan apakah ini benar atau salah, bisa dilakukan AB =I.

Contoh 3 : Mencari invers kiri matriks.

Diketahui matriks 

$A=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 1&2 \\  0& 1 \end{pmatrix}$ . 

Tentukan Invers kiri Matriks A tersebut!

Karena A berukuran 3x2, dan diminta invers kiri. Maka akan dicari matriks B yang memenuhi BA = I. Syaratnya tentu saja agar bisa dikalikan ukuran matriks B 2x3 dan diperoleh matriks identitas I dengan ukuran 2x2.

Sebab yang akan dicari adalah matriks I 2x2 maka matriks A harus ditranspos terlebih dahulu. Tujuannya agar jumlah baris A sesuai dengan jumlah baris I yang diinginkan.

Dengan begitu kita tahu invers dari transpose A adalah :

$Invers A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\0 & -\frac{1}{2} \\0& 0 \end{pmatrix}$

Ingat kita tambahkan satu baris dengan nilai entri 0.

Karena yang kita inginkan invers A, kita Transpose-kan kembali ‘invers transpose A’ tadi. Dan diperolehlah

$Invers- kiri A=\begin{pmatrix} 1&  0&0 \\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\end{pmatrix} $.

Itulah pembahasan mengenai invers kiri dan invers kanan suatu matriks. Jika ada pertanyaan silahkan berkomentar.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn