Cara Merubah Bentuk a sin x+ b cos x

martha yunanda trigonometri

Salah satu bentuk unik dari trigonometri yang sering ditemukan adalah a sin x+b cos x. Bentuk tersebut akan anda temui pada penyelesaian persamaan trigonometri salah satunya.

Adapun bentuk a sin x + b cos x tersebut bisa diubah seperti berikut,

 Agar lebih mudah anda bisa perhatikan contoh soal dan pembahasan bentuk asin x+bcos x di bawah ini.

Soal 1. sin x + √3 cos x

Penyelesaian:

Sesuai bentuk umum, kita peroleh a=1 ; b= √3

Kita cari k dan θ, dimana

k= √(a²+b²) = √(1²+(√3)²) =√4=2
tan θ = a/b = 1/√3
tan θ= tan 30⁰
 θ= 30⁰
Jadi, sin x + √3 cos x= 2cos (x- 30⁰)

Soal 2.  $ 2\sqrt{3} \sin (5x)  - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x  - \theta ) $

 $ a = 2\sqrt{3} \, $ ,  $ b =  - 2 $
$ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \\ k = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } \\ k = \sqrt{12 + 4} \\ k = 4 $
$ \tan \theta = \frac{a}{b} \\ \tan \theta = \frac{ 2\sqrt{3}}{- 2} \\ \tan \theta  = -\sqrt{3} \\ \theta = 120 ^\circ $
Sehingga
$ 2\sqrt{3} \sin (5x)  - 2 \cos (5x ) = k \cos ( 5x  - \theta ) \\ 2\sqrt{3} \sin (5x)  - 2 \cos (5x ) = 4 \cos ( 5x  - 120 ^\circ ) $

Soal 3. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan sin x-cos x =1   untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ?
Pembahasan:
Untuk ini kita akan cari bentuk umum seperti di atas terlebih dahulu. Selanjutnya baru kita cari penyelesaian persamaan trigonometri.
$$ \sin x  - \cos x = k \cos (x  - \theta ) \\  a = 1 \,  \,b = -1 \\ k = \sqrt{a^2 + b^2 } \\ k  = \sqrt{1^2 + (-1)^2 } \\ k = \sqrt{1 + 1} \\ k  = \sqrt{2} \\ \tan \theta = \frac{a}{b} \\ \tan \theta = \frac{ 1}{- 1} \\ \tan \theta = -1 \\ \theta = 135 ^\circ  \\  \sin x  - \cos x = 1 \rightarrow \sqrt{2} \cos (x  - 135 ^\circ ) = 1 $$ Selanjutnya gunakan cara mencari persamaan trigonometri. Karena fungsi adalah cos maka penyelesaiannya,$$ \sqrt{2} \cos (x  - 135 ^\circ ) = 1 \\  \cos (x  - 135 ^\circ ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos (x  - 135 ^\circ ) = \cos 45^\circ $$
$ f(x) = x  - 135 ^\circ \, $ dan $ \theta = 45^\circ $
Jika anda ragu, sebaiknya baca lagi cara menyelesaikan persamaan trigonometri, khususnya cosinus.
Penyelesaian Pertama:
$ f(x) = \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x  - 135 ^\circ & = 45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 180^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 180^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 180^\circ  - 360^\circ \\ & = -180^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 180^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 0 \\ & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 180^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 180^\circ + 360^\circ \\ & = 540^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 180^\circ \} $

Penyelesaian Kedua :
$ f(x) =  - \theta + k . 2 \pi \rightarrow f(x) =  - \theta + k \times 360^\circ $
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x  - 135 ^\circ & = -45^\circ + k \times 360^\circ \\ x & = 90^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 90^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 90^\circ  - 360^\circ \\ & = -270^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 90^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 0 \\ & = 90^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 90^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 90^\circ + 360^\circ \\ & = 550^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 90^\circ \} $
Jadi nilai x yang memenuhi persamaan di atas adalah $ \{ 90^\circ , \, 180^\circ \} $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn