Kalkulus adalah suatu pembahasan terpenting dalam matematika. Tidak hanya matematika saja, dalam bidang bidang ilmu kajian lain kalkulus juga memiliki peranan yang penting. Sebut saja dalam fisika, hampir sebagian ilmu fisika klasik, fisika mekanika membutuhkan kalkulus sebagai ilmu pendukung dalam perhitungan problema yang ada. Begitu juga untuk cabang ilmu lain, penggunaan kalkulus tersebar pada ilmu kedokteran, kimia, ekonomi bahkan bisnis sekalipun. Baiklah sekarang akan ditinjau prinsip dan konsep apa saja yang ada dalam kalkulus ini.
 |
| Contoh Aplikasi Kalkulus |
Kalkulus Limit
Kalkulus secara umum dikembangkan dengan cara memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Materi tersebut, dianggap sebagai angka, sebagai sebuah materi yang berukuran sangat kecil. Dengan berdasarkan sebuah teorema bahwasanya perkalian semua dan segala sesuatunya dengan sesuatu yang kecil tak hinga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, tidak memenuhi sifat Archimedes. Dari pendapat ini bisa disimpulkan kalkulus adalah himpunan teknik dan cara memanipulasi angka angka kecil yang tak hingga.
Pada perkembangannya di abad ke -19, konsep konsep kecil tak hingga ini diperkenalkan dengan nama pengganti nama limit. Limit ini yang nanti menunjukkan nilai suatu fungsi pada nilai masukan tertentu untuk mencari hasil dari masukan nilai terhadap variabel. Dari inilah konsep konsep penggunaan limit ini menjadi terintegrasi dalam cabang ilmu kalkulus. Baca: Aplikasi Kalkulus.
Kalkulus diferensial adalah ilmu atau pengetahua yang mempelajari tentang defenisi, sifat dan aplikasi dari turunan. Salah satunya tentang grafik seperti di gambarkan di atas. Secara mendasar konsep turunan ini merupakan lanjutan dari konsep limit, namun konsep turunan ini lebih maju tetapi lebih rumit dari konsep umum jika dibandingkan dengan aljabar. Dalam aljabar, seseorang dituntut mempelajari sebuah fungsi dengan memasukkan sebuah angka ke variabel dan akan menghasilkan hasil sebuah angka juga. Sementara itu, dalam turunan, masukan tidak berupa angka melainkan sebuah fungsi. Sebuah fungsi yang diolah dalam turunan tentunya juga nantinya akan menghasilkan hasil akhir dalam bentuk fungsi juga. Memang mungkin selanjutnya dirangkai dengan aljabar lagi, seperti nilai turunan fungsi pada x=k misalnya. Sekali lagi ditegaskan bahwa untuk pengolahan menggunakan turunan tetaplah fungsinya.
Dalam mendalami turunan ini, pelajar harus memahami notasi matematika. Dalam turunan ini akan digunakan sebuah simbol yang menyatakan turunan yaitu satu koma di atas (apostro), atau biasa dilafalka aksen. Misalkan ada fungsi f maka turunannya adalah f’. Beralih dalam aplikasi dalam ruang nyata, disini dimisalkan fungsi masukan berupa fungsi waktu. Maka akan didapat turunan dari fungsi tersebut masih dalam fungsi waktu. Pemakaian ini akan dikenal dalam hal kecepatan dan percepatan contohnya. Sejarah dan Perkembangan Kalkulus.
Penjelasan terhadap konsep integral, integral tak tentu sering dikenal dengan antiturunan. Pendefenisian sederhana bisa dibilang sebagai kebalikan turunan. Dalam simbolnya, misalkan f adalah sebuah fungsi maka anti turunan dari f adalah F. Dalam simbol yang sering digunakan, fungsi awal disimbolkan dengan huruf alfabet kecil, sementara hasilnya disimbolkan dengan huruf kapital. Sementara untuk integral tentu adalah proses integral dengan hasil akhir berupa angka. Biasanya penggunaan ini dalam hal mencari luas antara grafik atau kurva. Luas yang akan dicari tentu harus memiliki batas, batas tersebut yang nantinya akan menjadi masukkan pada hasil proses integral.
Contoh aplikasi integral ini dalam fisik seperti permasalahan berikut ini, Pada sebuah benda bergerak, bila memiliki kecepatan konstan perhitungan bisa saja dilakukan langsung dengan melakukan operasi matematika sederhana,misal perkalian Namun bagaimana jika kecepatan tersebut berubah ubah (GLBB). Disini peran integral dalam menyediakan sebuah metode yang lebih maju ketika memperkirakan jarak tempuh dan percepatan. Bila dibandingkan dengan cara manual tentu lebih ribet dimana harus dibagi bagi setiap selang perubahan kecepatan, dihitung satu persatu dan dijumlahkan semuanya.
Teorema dasar kalkulus ini dengan jelas memperlihatkan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih lengkap, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Hal ini dikarenakan akan lebih mudah menghitun sebuah anti turunan daripada mengaplikasi defenisi dari integral ini. Teorema ini berguna untuk memberikan solusi praktis dalam menghitung integral tentu. Baca: Sejarah Penemuan Integral.
Turunan / Diferensial
Garis singgung pada (x, (f(x)). Turunan dari sebuah kurva pada suatu titik senilai dengan kemiringan/ gradien dari suatu garis yang menyinggung kurva tersebut pada titik itu juga. Demikianlah salah satu aplikasi kalkulus dalam matematika. Konsep ini menerapkan kalkulus diferensial.Kalkulus diferensial adalah ilmu atau pengetahua yang mempelajari tentang defenisi, sifat dan aplikasi dari turunan. Salah satunya tentang grafik seperti di gambarkan di atas. Secara mendasar konsep turunan ini merupakan lanjutan dari konsep limit, namun konsep turunan ini lebih maju tetapi lebih rumit dari konsep umum jika dibandingkan dengan aljabar. Dalam aljabar, seseorang dituntut mempelajari sebuah fungsi dengan memasukkan sebuah angka ke variabel dan akan menghasilkan hasil sebuah angka juga. Sementara itu, dalam turunan, masukan tidak berupa angka melainkan sebuah fungsi. Sebuah fungsi yang diolah dalam turunan tentunya juga nantinya akan menghasilkan hasil akhir dalam bentuk fungsi juga. Memang mungkin selanjutnya dirangkai dengan aljabar lagi, seperti nilai turunan fungsi pada x=k misalnya. Sekali lagi ditegaskan bahwa untuk pengolahan menggunakan turunan tetaplah fungsinya.
Dalam mendalami turunan ini, pelajar harus memahami notasi matematika. Dalam turunan ini akan digunakan sebuah simbol yang menyatakan turunan yaitu satu koma di atas (apostro), atau biasa dilafalka aksen. Misalkan ada fungsi f maka turunannya adalah f’. Beralih dalam aplikasi dalam ruang nyata, disini dimisalkan fungsi masukan berupa fungsi waktu. Maka akan didapat turunan dari fungsi tersebut masih dalam fungsi waktu. Pemakaian ini akan dikenal dalam hal kecepatan dan percepatan contohnya. Sejarah dan Perkembangan Kalkulus.
Kalkulus Integral
Kalkulus Integral adalah pengetahuan yang membahas tentang defenisi, penggunaan sifat serta aplikasi dari integral. Dalam hal ini akan membuat dua konsep penting yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Secara ilmunya kalkulus integral bisa disebut sebagai hubungan antara dua operasi linear.Penjelasan terhadap konsep integral, integral tak tentu sering dikenal dengan antiturunan. Pendefenisian sederhana bisa dibilang sebagai kebalikan turunan. Dalam simbolnya, misalkan f adalah sebuah fungsi maka anti turunan dari f adalah F. Dalam simbol yang sering digunakan, fungsi awal disimbolkan dengan huruf alfabet kecil, sementara hasilnya disimbolkan dengan huruf kapital. Sementara untuk integral tentu adalah proses integral dengan hasil akhir berupa angka. Biasanya penggunaan ini dalam hal mencari luas antara grafik atau kurva. Luas yang akan dicari tentu harus memiliki batas, batas tersebut yang nantinya akan menjadi masukkan pada hasil proses integral.
Contoh aplikasi integral ini dalam fisik seperti permasalahan berikut ini, Pada sebuah benda bergerak, bila memiliki kecepatan konstan perhitungan bisa saja dilakukan langsung dengan melakukan operasi matematika sederhana,misal perkalian Namun bagaimana jika kecepatan tersebut berubah ubah (GLBB). Disini peran integral dalam menyediakan sebuah metode yang lebih maju ketika memperkirakan jarak tempuh dan percepatan. Bila dibandingkan dengan cara manual tentu lebih ribet dimana harus dibagi bagi setiap selang perubahan kecepatan, dihitung satu persatu dan dijumlahkan semuanya.
Teorema dasar kalkulus ini dengan jelas memperlihatkan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih lengkap, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Hal ini dikarenakan akan lebih mudah menghitun sebuah anti turunan daripada mengaplikasi defenisi dari integral ini. Teorema ini berguna untuk memberikan solusi praktis dalam menghitung integral tentu. Baca: Sejarah Penemuan Integral.