Untuk mengerjakan soal di bawah ini harus dipastikan terlebih dahulu anda paham tentang rumus-rumus turunan.
#Soal 1. Mencari Dua Bilangan yang Tidak Diketahui
Jumlah dua bilangan p dan q adalah 6. Jika nilai minimum dari f=2p2+q2 adalah
a) 12 b) 18 c) 20 d) 24 e) 32
Pembahasan:
Untuk Soal cerita, kita harus membuat fungsi dari kata-kata 'indah' pada soal tersebut.
Diki: p+q= 6
Dita: f=2p2+q2 Minimum?
Jawab: Nilai Max/Min dicari dengan menggunakan syarat maksimum dan minimum. Syarat tersebut adalah f'(x)=0
p+q= 6
q= 6-p
f=2p2+q2
f=2p2+(6-p)2
Untuk Soal cerita, kita harus membuat fungsi dari kata-kata 'indah' pada soal tersebut.
Diki: p+q= 6
Dita: f=2p2+q2 Minimum?
Jawab: Nilai Max/Min dicari dengan menggunakan syarat maksimum dan minimum. Syarat tersebut adalah f'(x)=0
p+q= 6
q= 6-p
f=2p2+q2
f=2p2+(6-p)2
f=2p2+36-12p+p2
f= 3p2+36-12p
Syarat minimum/maksimum turunan pertama sama dengan 0.
f= 3p2+36-12p
f'=6p-12 =0
p=2.
Nilai Minimum subtitusikan p=2 ke persamaan f.
f= 3p2+36-12p
f= 3.22+36-12.2=24.
#Soal 2. Menghitung Jarak Terdekat Titik ke Kurva
Jarak titik terdekat titik (6,0) ke kurva y=2$ \sqrt x$ adalah...
a. 2√3 b. 4 c. 2 √5 d. 2√6 e. 6
Pembahasan:
Diki: (x1,y1) = (6,0) ; Kurva $ y= 2 \sqrt x$ minimum?
$$\text {rumus menghitung jarak dua titik} \\ d= \sqrt { (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\ d= \sqrt { (x-6)^2 + (y-0)^2} \\ \text {subtitusikan persamaan kurva} \\ d= \sqrt { (x-6)^2 + ( 2 \sqrt x -0)^2} \\ \sqrt { x^2-12x+36+4x} \\ d= \sqrt {x^2-8x+36} \\ \text {max/min turunan pertama=0} \\ d= \sqrt {x^2-8x+36} d= (x^2-8x+36)^{ \frac {1}{2}} \\ d^ \prime = \frac {1}{2 }(x^2-8x+36)^{- \frac {1}{2}} (2x-8) \\ 2x-8 =0 \\ x=4 $$ Kita mengambil 2x-8 =0 karena faktor pembentuk nol adalah yang bukan pangkat negatif. Setelah dapat nilai x=4 subtitusikan ke fungsi d. $$ d= \sqrt {x^2-8x+36} \\ d= \sqrt {4^2-8.4+36} \\ d = \sqrt {20} \\ d = 2 \sqrt 5$$
#Soal 3. Luas Maksimum dan Minimum
Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dan sama kaki sehingga AC=BC 5 cm. Titik D ada di AC dan titik E ada di CB sehingga AD=CE. Luas segiemapat minimum yang dibentuk segiempat ABED adalah...
a) 7,5 b) 9,375 c) 9,75 d) 10,375 e) 12,5.
Pembahasan:
Gambarkan apa yang soal deskripsikan. Sehingga kita bisa dapatkan gambar,
L ABED = L ABC – L CED
L ABED = ½ AC.BC – ½ CE.CD
L ABED = ½ .5.5 – ½.x (5-x)
L ABED= 12,5 – 2,5x+0,5x2
Syarat Maksimum/Minimum turunan pertama sama dengan 0.
L’ ABED= -2,5+x =0
x=2,5
Lalu subtitusikan nilai x ke Fungsi Luas.
L ABED= 12,5 – 2,5.x+0,5x2
L ABED= 12,5 – 2,5.2,5+0,5(2,5)2=9,375 cm 2
#Soal 4. Luas Maksimum/Minimum daerah pada Grafik
Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva y = ½ x2 dan y=6 adalah... satuan luas.
a) 4√2 b) 8 c) 8√2 d)16 e)20
Pembahasan:
Kita akan buat gambar grafik dari yang diketahui. Berikut gambarnya,
Dari gambar di atas kita akan cari luas yang diarsir. Dan kita ketahui,
p = 2x ; l = 6- ½ x2
L = p.l = 2x( 6- ½ x2) =12x- x3
Maksimum/Minimum turunan pertama sama dengan 0
L' = 12-3x2=0
12=3x2
4= x2
x=2.
L=12x- x3= 12.2- 23=16 satuan luas
#Soal 5. Luas dan Volume Maksimum
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dana semua bidang sisi ditentukan harus 432 satuan luas. Maka volume terbesar yang mungkin dari kotak tersebut adalah... satuan volume.
Pembahasan:
Perhatikan karton yang dimiliki berikut,
Kita misalkan sisi alas (persegi) = x dan tinggi =y
Yang akan menjadi kotak adalah luas yang diarsir abu-abu. Luas Kotak tersebut.
L= x2+ xy+xy+xy+xy
432= x2+4xy
4xy=432- x2
y= (432- x2)/4x
V= La.t = x.x.y =x2.y
V=x2 . (432- x2)/4x
V= 108x -1/4.x3
Maksimum/Minimum Turunan Pertama sama dengan 0
V' = 108- 3/4 x2=0
x = 12.
Subtitusikan ke fungsi Volume
V= 108x -1/4.x3
V= 108.12 -1/4.123
V= 864
#Soal 6. Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung tanpa tutup (perhatikan gambar). Jika volume yang bisa ditampung adalah 125𝜋 satuan volume. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, maka nilai h adalah...
Pembahasan:
V= ½. 𝜋.r2h
125𝜋 = ½. 𝜋.r2h
h= 250/r2
L = ½ Ltabung
L= 𝜋.r2+𝜋.r.h
L=𝜋.r2+𝜋.r.250/r2
L=𝜋.r2+250𝜋/r
L=2𝜋.r+250𝜋r-1
Maksimum/Minimum Turunan Pertama = 0
L'=2𝜋.r-250𝜋r-2
0= 2𝜋.r-250𝜋r-2
r= 5
h= 250/r2
h= 10.
f= 3p2+36-12p
Syarat minimum/maksimum turunan pertama sama dengan 0.
f= 3p2+36-12p
f'=6p-12 =0
p=2.
Nilai Minimum subtitusikan p=2 ke persamaan f.
f= 3p2+36-12p
f= 3.22+36-12.2=24.
#Soal 2. Menghitung Jarak Terdekat Titik ke Kurva
Jarak titik terdekat titik (6,0) ke kurva y=2$ \sqrt x$ adalah...
a. 2√3 b. 4 c. 2 √5 d. 2√6 e. 6
Pembahasan:
Diki: (x1,y1) = (6,0) ; Kurva $ y= 2 \sqrt x$ minimum?
$$\text {rumus menghitung jarak dua titik} \\ d= \sqrt { (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \\ d= \sqrt { (x-6)^2 + (y-0)^2} \\ \text {subtitusikan persamaan kurva} \\ d= \sqrt { (x-6)^2 + ( 2 \sqrt x -0)^2} \\ \sqrt { x^2-12x+36+4x} \\ d= \sqrt {x^2-8x+36} \\ \text {max/min turunan pertama=0} \\ d= \sqrt {x^2-8x+36} d= (x^2-8x+36)^{ \frac {1}{2}} \\ d^ \prime = \frac {1}{2 }(x^2-8x+36)^{- \frac {1}{2}} (2x-8) \\ 2x-8 =0 \\ x=4 $$ Kita mengambil 2x-8 =0 karena faktor pembentuk nol adalah yang bukan pangkat negatif. Setelah dapat nilai x=4 subtitusikan ke fungsi d. $$ d= \sqrt {x^2-8x+36} \\ d= \sqrt {4^2-8.4+36} \\ d = \sqrt {20} \\ d = 2 \sqrt 5$$
#Soal 3. Luas Maksimum dan Minimum
Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dan sama kaki sehingga AC=BC 5 cm. Titik D ada di AC dan titik E ada di CB sehingga AD=CE. Luas segiemapat minimum yang dibentuk segiempat ABED adalah...
a) 7,5 b) 9,375 c) 9,75 d) 10,375 e) 12,5.
Pembahasan:
Gambarkan apa yang soal deskripsikan. Sehingga kita bisa dapatkan gambar,
L ABED = L ABC – L CED
L ABED = ½ AC.BC – ½ CE.CD
L ABED = ½ .5.5 – ½.x (5-x)
L ABED= 12,5 – 2,5x+0,5x2
Syarat Maksimum/Minimum turunan pertama sama dengan 0.
L’ ABED= -2,5+x =0
x=2,5
Lalu subtitusikan nilai x ke Fungsi Luas.
L ABED= 12,5 – 2,5.x+0,5x2
L ABED= 12,5 – 2,5.2,5+0,5(2,5)2=9,375 cm 2
#Soal 4. Luas Maksimum/Minimum daerah pada Grafik
Luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva y = ½ x2 dan y=6 adalah... satuan luas.
a) 4√2 b) 8 c) 8√2 d)16 e)20
Pembahasan:
Kita akan buat gambar grafik dari yang diketahui. Berikut gambarnya,
Dari gambar di atas kita akan cari luas yang diarsir. Dan kita ketahui,
p = 2x ; l = 6- ½ x2
L = p.l = 2x( 6- ½ x2) =12x- x3
Maksimum/Minimum turunan pertama sama dengan 0
L' = 12-3x2=0
12=3x2
4= x2
x=2.
L=12x- x3= 12.2- 23=16 satuan luas
#Soal 5. Luas dan Volume Maksimum
Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas bujur sangkar. Jika jumlah luas bidang alas dana semua bidang sisi ditentukan harus 432 satuan luas. Maka volume terbesar yang mungkin dari kotak tersebut adalah... satuan volume.
Pembahasan:
Perhatikan karton yang dimiliki berikut,
Kita misalkan sisi alas (persegi) = x dan tinggi =y
Yang akan menjadi kotak adalah luas yang diarsir abu-abu. Luas Kotak tersebut.
L= x2+ xy+xy+xy+xy
432= x2+4xy
4xy=432- x2
y= (432- x2)/4x
V= La.t = x.x.y =x2.y
V=x2 . (432- x2)/4x
V= 108x -1/4.x3
Maksimum/Minimum Turunan Pertama sama dengan 0
V' = 108- 3/4 x2=0
x = 12.
Subtitusikan ke fungsi Volume
V= 108x -1/4.x3
V= 108.12 -1/4.123
V= 864
#Soal 6. Sebuah tempat air terbuat dari plat baja yang berbentuk separuh tabung tanpa tutup (perhatikan gambar). Jika volume yang bisa ditampung adalah 125𝜋 satuan volume. Agar bahan pembuatannya sehemat mungkin, maka nilai h adalah...
Pembahasan:
V= ½. 𝜋.r2h
125𝜋 = ½. 𝜋.r2h
h= 250/r2
L = ½ Ltabung
L= 𝜋.r2+𝜋.r.h
L=𝜋.r2+𝜋.r.250/r2
L=𝜋.r2+250𝜋/r
L=2𝜋.r+250𝜋r-1
Maksimum/Minimum Turunan Pertama = 0
L'=2𝜋.r-250𝜋r-2
0= 2𝜋.r-250𝜋r-2
r= 5
h= 250/r2
h= 10.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal Cerita Aplikasi Turunan"
Post a Comment