Cara Mencari Akar Persamaan Tak Linear dengan Metode Newton Raphson

martha yunanda fungsi, Ilmu

Dalam penyelesaian persamaan Tak Linear, bisa digunakan cara Metode Newton Raphson. Hasil yang diperoleh memang secara numerik, atau hanya mendekati nilai sebenarnya. Tapi, ini masih dalam toleransi galat sehingga hasilnya bisa dianggap sangat mendekati.

Lalu mungkin akan jadi pertanyaan bagi Anda. Apa itu persamaan linear? Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel berpangkat tidak sama dengan 1. Pangkatnya bisa saja lebih dari 1 (contohnya $x^2 , x^3$) atau yang kurang dari 1. Contohnya $x^{ \frac {2}{5}}, x^{\frac {3}{4}}$.

Kegunaan metode Newton Raphson inilah yang digunakan untuk mencari nilai x pada persamaan. Atau kita kenal dengan akar persamaan. Prinsip yang digunakan dalam mencari akar persamaan (penyelesaian) dengan metode Newton Raphson ini adalah,

• Pendekatan terhadap f(x) dengan garis singgung pada sebuah nilai awal ($x_0$)
• Nilai Taksir berikutnya merupakan titik perpotongan antara garis singgung dengan sumbu x. Perhatikan sebuah grafik di bawah ini,

Grafik Ilustrasi : sumber konsep-matematika.com

Penyelesaian dari grafik di atas adalah $x_3$. Namun, kita akan melakukan dengan pendekatan mengambil $x_0$ sebarang nilai terlebih dahulu. Seterusnya dilakukan metode Newton Raphson dengan langkah,
#1. substitusi $x_0$ ke f(x), di dapat titik singgung A($x_0,f(x_0)$). Lalu dibuat garis singgung yang melewati titik A (gs 1). Garis tersebut memotong sb X di $x_1$.

#2. substitusi $x_1$ ke f(x) , di dapat titik singgung B($x_1,f(x_1)$). Lalu dibuat garis singgung melalui titik B (gs 2). Garis ini memotong sumbu X di $x_2$.

Lakukan ini seterusnya hingga kita mendapatkan nilai x yang hampir sama.

Dari gambaran metode Newton Raphson di atas kita bisa melakukan perhitungan tanpa menggambarkan. Caranya sebagai berikut,
Tentukan turunan pertama fungsi
1) Menentukan Nilai $x_0$. Kita pilih nilai sembarang, tetapi disarankan mendekati perkiraan akar.
2) Hitung nilai $x_1, x_2, x_3…x_n$ dengan mengunakan rumus, $$x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)}$$ .
3) Lakukan pengulangan / iterasi sampai,

1. diperoleh nilai $f(x_k) = 0 \,$ atau 
2.  nilai akar-akar taksirannya sudah tetap ($x_{k+1} = x_k$) atau 
3. nilai galat relatif $x_k \, \leq \,$ toleransi galat $x \,$ yang diminta. dengan galat relatif $x_k = \left| \frac{x_k – x_{k-1} }{x_k } \right|$

Contoh Soal Metode Newton Raphson Mencari Akar Persamaan tak Linear

#Soal 1. Hitunglah nilai x yang memenuhi $x^3 – 2x^2 + 3x – 6=0 \,$
Pembahasan :

Langkah 1:
$$f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 6 \\ f^\prime (x) = 3x^2 – 4x + 3$$

Langkah 2: Pilih nilai $x_0$
Saya memilih $x_0 = 3 \,$ Anda bisa memilih $x_0$ angka lain yang anda sukai

Langkah 3: Iterasi untuk mencari $x_1, x_2, x_3…$
$x_0 = 3 \,$ Ingat rumus yang digunakan : $x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)}$ .
iterasi ke-1 untuk $x_1$
$$\begin{align} x_0 = 3 \rightarrow f(x_0) & = f(3) = 3^3 – 2.3^2 + 3.3 – 6 = 12 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (3) = 3.3^2 – 4.3 + 3 = 18 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 3 – \frac{12}{18} \\ x_{1} & = 2,33333333 \end{align}$$
iterasi ke-2 untuk $x_2$
$$\begin{align} x_1 = 2,33333333 \rightarrow f(x_1) & = f(2,33333333) = 2,814814815 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (2,33333333) = 10 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 2,33333333 – \frac{2,814814815}{10} \\ x_{2} & = 2,05185 \end{align}$$
iterasi ke-3 untuk $x_3$
$$\begin{align} x_2 = 2,05185 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05185) = 0,373856831 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05185) = 0,373856831 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05185 – \frac{0,373856831}{0,373856831} \\ x_{3} & = 2,00149 \end{align}$$
iterasi ke-4 untuk $x_4$
$$\begin{align} x_3 = 2,00149 \rightarrow f(x_3) & = f(2,00149) = 0,010413554 \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,00149) = 7,011897728 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 – \frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,00149 – \frac{0,010413554}{7,011897728} \\ x_{4} & = 2 \end{align}$$
iterasi ke-5 untuk $x_5$
$$\begin{align} x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) & = f(2) = 0 \end{align}$$
Karena nilai $f(2) = 0 , \,$ iterasi dihentikan. Jadi, salah satu akar dari persamaan $x^3 – 2x^2 + 3x – 6 = 0 \,$ adalah 2. Syarat Iterasi Berhenti ; Pertama.

# Soal 2
Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari Nilai x yang memenuhi persamaan $x^5 + 2x^2 – 4 = 0 \,$ jika $x_0 = 1 \,$ dan toleransi galat relatif $x \,$ adalah 0,001.
Pembahasan :
Langkah 1: $$f(x) = x^5 + 2x^2 – 4 \\ f^\prime (x) = 5x^4 + 4x$$
Langkah 2: $x_0 = 1 \,$ (nilai $x_0\,$ sudah ditetapkan oleh soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif $$x_k = \left| \frac{x_k – x_{k-1} }{x_k } \right|$$
Langkah 3: $$x_0 = 1 \, $ dengan rumus : $ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)}$$
iterasi ke-1 untuk $x_1$
$$\begin{align} x_0 = 1 \rightarrow f(x_0) & = f(1) = 1^5 + 2.1^2 – 4 = -2 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (1) = 5.1^4 + 4.1 = 9 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 1 – \frac{-2}{9} \\ x_{1} & = 1,111111 \\ \text{galat } : x_1 & = \left| \frac{x_1 – x_0 }{x_1 } \right| \\ & = \left| \frac{1,111111 – 1 }{1,111111 } \right| \\ & = 0,1 \end{align}$$
Nilai galat $x_1 = 0,1 \,$ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-2 untuk $x_2$
$$\begin{align} x_1 = 1,111111 \rightarrow f(x_1) & = f(1,111111 ) = 0,162644583 \\ f^\prime (x_1) & = f^\prime (1,111111 ) = 12,06523396 \\ k = 1 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{1+1} & = x_1 – \frac{f(x_1)}{f^\prime (x_1)} \\ x_{2} & = 1,111111 – \frac{0,162644583}{12,06523396} \\ x_{2} & = 1,09763 \\ \text{galat } : x_2 & = \left| \frac{x_2 – x_1 }{x_2 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09763 – 1,111111 }{1,09763 } \right| \\ & = 0,012281 \end{align}$$
Nilai galat $x_2 = 0,012281 \,$ tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.

iterasi ke-3 untuk $x_3$
$\begin{align} x_2 = 1,09763 \rightarrow f(x_2) & = f(1,09763 ) = 0,002826142 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (1,09763 ) = 11,64815483 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 – \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 1,09763 – \frac{0,002826142}{11,64815483} \\ x_{3} & = 1,09739 \\ \text{galat } : x_3 & = \left| \frac{x_3 – x_2 }{x_3 } \right| \\ & = \left| \frac{1,09739 – 1,09763 }{1,09739 } \right| \\ & = 0,000221 \end{align}$
Karena nilai galat $x_3 = 0,000221 \,$ kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi selesai karena memenuhi syarat berhenti literasi ke-3. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1,09739. Baca juga: Contoh Cara Menghitung Akar Bilangan dengan Metode Newton Raphson

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn