Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral (Metode Kulit Tabung)

martha yunanda integral

Untuk menentukan volume benda putar dengan integral bisa digunakan 2 metode atau cara. Metode tersebut adalah metode cakram (Baca: Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral (Metode Cakram) dan metode kulit tabung. Menambahkan pilihan dari metode sebelumnya, pada halaman ini akan diuraikan bagaimana cara menghitung volume benda putar dengan metode Kulit Tabung.

Volume daerah 1 Kurva

Perhatikan dua gambar di bawah ini, misalkan daerah awal abu abu, dan hasil pemutaran dengan warna kuning,

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $y = f(x) , \, x = a, \, x = b, \,$ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $360^\circ \,$ adalah

 $Volume \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b xf(x) dx$

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $x = f(y) , \, y = a, \, y = b, \,$ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $360^\circ \,$ adalah

 $Volume\, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b f(y) . y dy$

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $y = -x^3 + 4x , \, x = 0, \, x = 1 , \,$ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y $360^\circ$ !

Pembahasan:

Jika gambarkan akan diperoleh,

Volume bisa dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b xy dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 x(-x^3 + 4x) dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 (-x^4 + 4x^2) dx \\ & = 2\pi [\frac{-1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3]_0^1 \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5}.1^5 + \frac{4}{3}.1^3] - [\frac{-1}{5}.0^5 + \frac{4}{3}.0^3]) \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5} + \frac{4}{3} ] - [0]) \\ & = 2\pi ( \frac{-3}{15} + \frac{20}{15} ) \\ & = 2\pi ( \frac{17}{15} ) \\ & = \frac{34}{15} \pi \\ & = 2\frac{4}{15} \pi \end{align}$

Volume Daerah dibatasi 2 Kurva

Untuk menghitung volume benda putar dengan metode kulit tabung pada kasus dua kurva anda bisa gunakan rumus berikut.

Diputar Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $x = f(y) , \, x = g(y) , \, y = a, \, y = b, \,$ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $360^\circ \,$ dengan $|f(y)| \geq |g(y)| \,$ adalah

 $Volume\, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b [f(y) - g(y)] y dy$

Diputar Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $y = f(x) , \, y = g(x) , \, x = a, \, x = b, \,$ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $360^\circ \,$ dengan $|f(x)| \geq |g(x)| \,$ adalah

 $Volume \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx$ 

Contoh Soal dan Penyelesaian

Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $y = \frac{1}{3}x^2 , \, y = x , \, x = 0, \, x = 2 , \,$ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y  $360^\circ$ !

Pembahasan:

Jika digambarkan akan diperoleh bentuk daerah asal,

Volume jika area tersebut diputar terhadap sumbu y bisa dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 x[x - \frac{1}{3}x^2] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 (x^2 - \frac{1}{3}x^3) dx \\ & = 2\pi [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_0^2 \\ & = 2\pi ( [\frac{1}{3}.2^3 - \frac{1}{12}.2^4] - [\frac{1}{3}.0^3 - \frac{1}{12}.0^4] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{8}{3} - \frac{4}{3} ] - [0] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{4}{3} ] ) \\ & = \frac{8}{3} \pi \\ & = 2\frac{2}{3} \pi \end{align}$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn