Contoh Soal Menghitung Jarak pada Bangun Geometri Kubus dan Limas

martha yunanda contoh soal, geometri

Soal 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Jika P pertengahan BC dan Q pertengahan DH. Tentukan:

a) Jarak P ke Q

b) Jarak Q ke ACH

Jawab:

a) Perhatikan gambar di bawah ini

Fokus anda pada segitiga yang abu abu (QDP) dimana siku siku di D. Artinya anda bisa bermain teorema Phytagoras di sini.

$ PQ^2 = QD^2+PD^2$

QD = 4 cm (setengah rusuk)

PD= $ \frac {1}{2} \sqrt 5$ didapat dari Phytagoras segitiga PCD yang siku siku di C.

$ PQ^2 = 4^2+( 2 \sqrt 5)^2$

$PQ = 6$

b) Jarak Q ke ACH

Saya buat garis yang melalui Q yaitu BD. Kemudian saya buat bidang simetri sehingga terbentuk segitiga ODH. Bidang tersebut diperluas sehingga menjai  BDHF. Jarak yang akan dihitung aalah Q ke HO seperti yang ditunjukkan x.

Perhatikan bidang BDHF berikut,

Segitiga DOH sebangun dengan segitiga SQH (sususu)

Sudut D = sudut S (siku siku)

Sudut H = sudut H

Otomatis sudut Q = sudut O

Jadi berlaku kesebangunan:

$ \frac {SQ}{DO} = \frac {HQ}{HO}$

$ \frac {x}{4 \sqrt 2} = \frac {4}{ 2 \sqrt 6}$

$x= \frac {8}{ \sqrt 3} = \frac {8}{3} \sqrt 3$

Soal 2. Diketahui limas beraturan T.ABCD denga AT=6 cm, AB=4 cm. Titik P ditengah AB dan titik O ditengah bidang ABCD. Hitunglah:
a) Jarak A ke TBD
b) Jarak T ke titik O
c) Jarak P ke TBC
d) Jarak AB ke TCD

Pembahasan:
a) Untuk jarak A ke TBD bisa dilukiskan sebagai berikut,

Jarak antara A dan TBD adalah AO= x. x tersebut setengah diagonal bidang alas limas yang berbentuk persegi dengan sisi 4 cm. AC = $ 4 \sqrt 2$. AO = $2 \sqrt 2$ Jadi jarak antara titik A dan bidang TBD adalah $2 \sqrt 2$

b) Jarak T ke O

Ketika saya buat garis TO maka terbentuk segitiga TOC yang siku-siku di O. OC kita ketahui $2 \sqrt 2$ dan TC = AT = 6 cm. Karena segitiga siku siku maka berlaku Phytagoras:
$OT = \sqrt {TC^2 - OC^2}$
$OT = \sqrt {6^2 - (2 \sqrt 2)^2} = 2 \sqrt 7$

c) Jarak P ke TBC

Jarak P ke TBC, saya proyeksikan titik P ke O. Selanjutnya terbentuk segitiga TOM, dimana garis TM ada di TBC. Jarak titik P ke TBC tersebut diwakilkan oleh ON.

OM = 2

OT =  $2 \sqrt 7$

TM = $ \sqrt {OM^2 +OT^2} = 4 \sqrt 2$

Gunakan perbandingan rumus luas segitiga

L TOM = L TOM

$ \frac {OM.OT}{2} = \frac {TM.ON}{2}$

$ 4 \sqrt 7 = 4 \sqrt 2 . x$

$x = \frac {\sqrt 7}{ \sqrt 2}= \frac {\sqrt 14}{2}$

d) Jarak AB ke TCD

Untuk jarak AB ke TCD saya akan buat bidang yang memotong garis AB dan bidang TCD, perhatikan

Terbentuk segitiga TEF. Jarak AB ke TCD itu sama dengan jarak E ke TF, bisa dilihat pada segitiga yang saya keluarkan dengan tanda x.

Bisa digunakan prinsip luas lagi,

Luas segitiga TEF = Luas Segitiga TEF

$ \frac {EF.OT}{2} = \frac {TF.x}{2}$

$ \frac {4.2 \sqrt 7}{2} = \frac {4 \sqrt 2 x}{2}$

$x= \frac {2 \sqrt 7}{ \sqrt 2}$ 

Silakan dilanjutkan merasionalkan

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn