Menghitung Volume Benda Putar dengan Integral (Metode Cakram)

martha yunanda integral

Untuk menentukan volume benda putar dengan integral bisa digunakan 2 metode atau cara. Metode tersebut adalah metode cakram dan metode kulit tabung. Pada pembahasan awal ini akan dilihat dengan metode cakram.

Volume Benda Putar 1 Kurva

Diputar terhadap sumbu x

Perhatikan ilustrasi di bawah ini,

Volume benda putar jika daerah dengan batas batas $ y = f(x) $, sumbu X, garis $ x = a$, dan garis $ x = b $ diputar mengelilingi sumbu X sebesar $ 360^\circ$, volume bisa dihitung dengan rumus

 $ Volume= \pi \int \limits_a^b y^2 dx = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx $

Anda bisa perhatikan penggunaan rumus di atas dalam contoh soal dan pembahasan menghitung Volume benda putar di bawah ini,

Contoh Soal 1. Hitunglah volume benda putar, jika kurva $ y = x $, sumbu X, dan garis $ x = 3 $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ $ !

Pembahasan:
Jika digambarkan akan didapat seperti berikut,

dan jika diputar terhadap sumbu x, akan diperoleh bentuk,

Volume bisa dihitung sesuai rumus di atas menjadi,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^3 [x]^2 dx \\ & = \pi [\frac{1}{3}x^3]_0^3 \\ & = \pi ( [\frac{1}{3}.3^3] - [\frac{1}{3}.0^3] ) \\ & = \pi ( [9] - [0] ) \\ & = 9 \pi \end{align} $

Diputar terhadap Sumbu y

Perhatikan gambar di bawah ini,

Daerah dengan batas $ x = f(y)$, sumbu Y, garis $ y = a$, dan garis $ y = b $ diputar mengelilingi sumbu Y sebesar $ 360^\circ$, maka Volumenya bisa dihitung dengan rumus

 $ Volume= \pi \int \limits_a^b x^2 dy = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 dy $

Contoh Soal 2: Hitunglah volume benda putar jika daerah dengan batas sumbu Y, kurva $ y = x^2$, garis $ y = 2$, dan garis $ y = 5 $ diputar mengelilingi sumbu Y!

Pembahasan:
Jika digambarkan akan diperoleh gambar dan hasil putaran sebagai berikut,

Volume bisa dihitung:
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_2^5 [\sqrt{y}]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_2^5 y dy \\ & = \pi [ \frac{1}{2}y^2]_2^5 \\ & = \pi ( [ \frac{1}{2}.5^2] - [ \frac{1}{2}.2^2]) \\ & = \frac{21}{2}\pi \end{align} $

Volume Benda Putar 2 Kurva

Diputar terhadap sumbu x

Dari gambar ilustrasi berikut,

Misal daerah berwarna merah daerah tertutup dengan batas kurva-kurva $ y_1 = f(x) $ dan $ y_2 = g(x) $ dengan $ | f(x) | \geq | g(x) | $ pada interval $ a \leq x \leq b$. Daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ $ sehingga terbentuk suatu benda putardimana bagian tengahnya kosong. Volume benda yang terbentuk  $ y_1 = f(x), y_2 = g(x)$, garis $ x = a $ dan $ x = b $ adalah

 $ Volume \, = \pi \int \limits_a^b (y_1)^2 - (y_2)^2 dx = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 dx $

Contoh Soal 3: Hitung volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 6x - x^2 $ dan $ y = x $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ$

Pembahasan:
Jika digambarkan akan diperoleh,

Titik potong kurva di atas diperoleh dari,
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x & = 6x - x^2 \\ x^2 - 5x & = 0 \\ x(x-5) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 5 \end{align} $
dan ini sekaligus akan menjadi batas integral. Dilanjutkan dengan menghitung volume sesuai rumus di atas,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^5 [6x - x^2]^2 - [x]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^5 ( x^4 -12x^3 + 35x^2) dx \\ & = \pi [ \frac{1}{5}x^5 -3x^4 + \frac{35}{3}x^3]_0^5 \\ & = 208\frac{1}{3} \pi \end{align} $

Diputar terhadap Sumbu y

Jika fungsi seperti gambar berikut,

Daerah arsiran adalah daerah tertutup dengan batas $ x_1 = f(y) $ dan $ x_2 = g(y) $ dengan $ | f(y) | \geq | g(y) | $ pada interval $ a \leq x \leq b$. Daerah yang tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ dapat dihitung dengan rumus

 $Volume \, = \pi \int \limits_a^b (x_1)^2 - (x_2)^2 dy = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 - [g(y)]^2 dy $

Contoh Soal: 4:  Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2, y = 3x^2$, dan $ y = 3 $ di kwadran pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ$

Pembahasan:
Jika digambarkan akan diperoleh,

Sebelumnya fungsi diubah,
fungsi $ y = x^2 \rightarrow x_1 = \sqrt{y} $
fungsi $ y = 3x^2 \rightarrow x_2 = \sqrt{\frac{1}{3}y} $
Volumenya bisa dihitung
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 - [g(y)]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 [\sqrt{y}]^2 - [\sqrt{\frac{1}{3}y}]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 (y - \frac{1}{3}y) dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 \frac{2}{3}y dy \\ & = \pi [\frac{2}{6}y^2]_0^3 \\ & = \pi [\frac{1}{3}y^2]_0^3 \\ & = \pi ([\frac{1}{3}.3^2]- [\frac{1}{3}.0^2] ) \\ & = \pi ([3]- [0]) \\ & = 3 \pi \end{align} $
Untuk cara kedua, bisa dengan metode Kulit Tabung, silakan baca: Menentukan Volume Benda Putar dengan Integral (Metode Kulit Tabung)

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn