Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral tanpa Menggambar

martha yunanda integral

Pada tahap normalnya, untuk menghitung luas daerah kurva terlebih dahulu harus dibuat gambar grafik fungsinya. Namun pada kondisi tertentu ini cukup membuang waktu. Demi menghemat waktu, bukan tidak mungkin anda bisa menghitung luas daerah kurva dengan integral tanpa harus menggambarkan terlebih dahulu fungsinya.

Langkah yang harus anda lakukan adalah,

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x. Secara teoritis anda bisa subtitusikan y=0 pada persamaan. Atau jika soal untuk 2 kurva anda bisa cari perpotongan dua kurva tersebut.
2. Tentukan daerah apakah semua di atas sumbu x atau di bawah sumbu x. Caranya dengan menguji sebuah nilai x sebarang pada titik potong fungsi itu. Bila nilai positig maka daerah berada di atas sumbu x, pun demikian sebaliknya.
3. Hitung luas daerah dengan integral.

Contoh penggunaan teori di atas sebagai berikut,

Soal 1.Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $.

Pembahasan:

Titik potong dengan sumbu x,

$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ (x - 2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $,  jelas sudah batas integral yaitu dari 2 sampai 4.

Posisi daerah:

$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $
Hasil fungsi negatif $(-1) $ , daerah ada di bawah sumbu X,maka harus dikalikan dengan negatif.

Menghitung Luas
$ \begin{align} \text{Luas } & = - \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -([ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] - [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -48 + 32 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -16 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]) \\ & = -( \frac{56}{3} - 20) \\ & = -( - \frac{4}{3} ) \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $

Soal 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 - 4x \, $ dan sumbu X

Pembahasan:

Titik potong kurva pada sumbu X :

$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 - 4x & = 0 \\ x(x^2 - 4) & = 0 \\ x(x - 2)(x+2) & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $

Karena batasnya langsung dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan langsung menggunakan titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua daerah yang akan kita hitung luasnya yaitu daerah dari -2 sampai 0 dan dari 0 sampai 2.

Daerah pertama -2 sampai 0, substitusi $ x = -1 $

$ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = (-1)^3 - 4.(-1) \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $

Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah -2 sampai 0.

Daerah kedua 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $

$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = 1^3 - 4.1 \\ & = 1 - 4 \\ & = -3 \end{align} $ 

Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 0 sampai 2, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.

Menghitung luas

$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx + (- \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx ) \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx - \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^0 - [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_0^2 \\ & = ([ 0 ]-[\frac{1}{4}. (-2)^4 - 2.(-2)^2]) - ([\frac{1}{4}.2^4 - 2.2^2] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[4 - 8]) - ([4 - 8] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[-4]) - ([-4]  ) \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $

Soal 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x + 5 , \, y = 4x - 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $

Pembahasan:

Titik potong kedua fungsi:

$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x + 5 & = 4x - 3 \\ x^2 - 6x + 8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $

Titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . tetapi batas yang diminta adalah garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 sampai 4, sehingga yang dipakai adalah batasannya dari 2 sampai 3.

Tentukan posisi kurva yang di atas danyang di bawah.

Batas antara 2 dan 3,coba titik $ x = 2,5 \, $ ,

kurva : $ y = x^2 - 2x + 5 $

$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 - 2x + 5 \\ y & = (2,5)^2 - 2.(2,5) + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5    \\ & = 6,25 \end{align} $

kurva : $ y = 4x - 3 $

$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x - 3 \\ y & = 4.(2,5) - 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \end{align} $

Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 - 2x + 5 \, $ lebih besar dari nilai kurva $ y = 4x - 3 \, $ , artinya kurva pertama di atas kurva kedua.

Hitung luas

$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 (x^2 - 2x + 5) - (4x - 3) dx \\ & = \int \limits_2^3 x^2 - 6x + 8 dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x ]_2^3 \\ & = [\frac{1}{3}.3^3 - 3.3^2 + 8.3 ] - [\frac{1}{3}.2^3 - 3.2^2 + 8.2 ] \\ & = [9 - 18 + 24 ] - [\frac{8}{3} - 12 + 16 ] \\ & = [15 ] - [\frac{8}{3} + 4 ] \\ & = 11 - \frac{8}{3} \\ & = 9\frac{2}{3} \end{align} $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn