Pada konsep dasarnya telah dijelaskan pada halaman sebelumnya mengenai cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Juga telah diberikan rumus cepat I dan rumus cepat 2 untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.
Berikut trik ke-tiga. Di sini syarat dan ketentuannya adalah salah satu interval batasnya adalah titik balik parabola. Ini berlaku hanya untuk satu parabola. Sketsanya seperti ini,
Dari gambar di atas perbandingan Luas A dan Luas B= 2:1. Atau lebih rinci bisa ditulis,
$ \, Luas A= \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
$ \, Luas B = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
$ \, Luas B = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Pembuktian Luas Daerah
Terdapat fungsi $ y = ax^2 \, $. Sebelumnya bagaimana jika bentuk fungsi, $ y = ax^2 + bx + c \, $?
Fungsi $ y = ax^2 + bx + c \, $ adalah hasil penggeseran dari $ y = ax^2 \, $ (silakan baca materi persamaan kuadrat). Secara geometris ketika anda menggeser sebuah objek secara keseluruhan maka Luas daerah tidak berubah. Makanya agar lebih mudah saya ambil $ y = ax^2 \, $ saja.
Luas masing masing dihitung,
Luas daerah A dibatasi oleh kurva $ y = ak^2 \, $ dan $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^k (ak^2 - ax^2) dx \\ & = [ak^2x - \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ak^2 . k - \frac{a}{3}.k^3] - [ak^2.0 - \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ak^3 - \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{2}{3}ak^3 \end{align} $
Luas daerah B dibatasi oleh kurva $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas B } & = \int \limits_0^k ax^2 dx \\ & = [ \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ \frac{a}{3}.k^3] - [ \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{1}{3}ak^3 \end{align} $
Bandingkan,
$\begin{align} \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{\frac{2}{3}ak^3}{\frac{1}{3}ak^3} \\ \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Terbukti bukan?
Contoh Soal dan Pembahasan:
Hitunglah Luas daerah dari
Pembahasan:
a) persegi panjang dengan panjang 2 dan lebar 3
$ \, Luas= \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 3 = 4 $
b) Luas L1 $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $
Luas L2 (segitiga) $ \, = \frac{1}{2} \times a \times t = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 $
Sehingga luas totalnya :
$ \, = L1 + L2 = 2\frac{2}{3} + 2 = 4\frac{2}{3} $
c) Bagi bangun terlebih dahulu,
Persegi panjang memiliki panjang 1 dan lebar $ b $.
Tentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} \text{Luas arsir } & = L_A + L_B \\ 5 & = 2 \times L_A \\ 5 & = 2 \times \frac{2}{3} \times p \times l \\ 5 & = \frac{4}{3} \times 1 \times b \\ 5 & = \frac{4}{3} \times b \\ b & = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
Tentukan nilai $ a $ :
Karena titik $(a,b) \, $ adalah titik puncak, maka $ a \, $ terletak ditengah-tengah antara titik potong parabola dengan sumbu X yaitu antara 2 dan 4, artinya nilai $ a = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.Selanjutnya anda tentu bisa menghitung luas I. Karena bangun I dan 2 simetris, hasilnya tinggal anda kali 2.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Rumus Cepat III Menghitung Luas dibatasi Kurva"
Post a Comment