Cara Mencari Persamaan Bidang dari Vektor

martha yunanda vektor

Persamaan bidang dalam ruang bisa didapatkan dari sebuah titik pada bidang yang dimaksud dan vektor yang ortogonal/vektor normal pada bidang tersebut. Sementara, perhatikan ilustrasi di bawah ini,

Dari gambar di atas terlihat titik P ($x_P,y_P,z_P$) berada pada bidang, lalu terdapat vektor n yang tegak lurus atau vektor normal yang tak nol. Misalkan vektor n (a,b,c).

Bidang di atas juga terdapat titik Q (x,y,z) . Terlihat dengan jelas vektor PQ tegak lurus dengan vektor n.

Jika dilakukan perkalian dot pada vektor maka bisa ditulis sebuah persamaan:
(ingat rumus perkalian titik (dot) vektor).
$\vec n\bullet \vec {PQ} = 0, \ \ \ \text {karena tegak lurus} \\ \text {sementara vektor } \vec {PQ}= (x -x_P , y -y_P , z -z_P) \\ \vec {n}= (a,b,c) \\ \vec n\bullet \vec {PQ} = 0 \\ a(x -x_P)+ b(y -y_P)+c(z -z_P)=0$
Persamaan di atas disebut dengan persamaan baku dalam kasus ini.

Contoh Soal Menentukan Persamaan Bidang dalam Ruang (Vektor)

Dari teorema persamaan baku di atas. Mari kita lihat aplikasi penggunaannya dalam bentuk contoh soal jika diketahui 3 titik dalam ruang vektor.

Contoh Soal 1:

Tentukanlah persamaan bidang dengan vektor normal $ \vec n = 3 \vec i + 4 \vec j - \vec k$ dan melalui titik (-1,4,2)!

Pembahasan:
Mendapati masalah seperti di atas, cukup mudah. Karena telah diberikan vektor normal dan titik yang dilalui bidang, anda cukup menggunakan persamaan baku di atas.
$\vec n\bullet \vec {PQ} = 0 \\ a(x -x_P)+ b(y -y_P)+c(z -z_P)=0 \\ 3 (x-(-1) +4(y-4)-1 (z-2)=0 \\ 3x+4y-z-11=0$
Jadi persamaan bidangnya adalah: 3x+4y-z-11=0

Contoh Soal 2:

Tentukanlah persamaan bidang yang mana memuat titik A (2,1,1) ; B (0,4,1) dan C (-2,1,4).

Pembahasan:

Dari permasalah di atas cukup sulit karena vektor normal tidak diberikan. Untuk itu, silakan perhatikan ilustrasi berikut terlebih dahulu.

Ada tiga titik pada bidang. Sebagaimana dikatakan di atas, masalah kita adalah vektor normal yang belum diketahui. Cara menentukan vektor normal dari permasalahan di atas adalah dengan melakukan perkalian silang (cross) vektor AB dan AC ( ABxAC). Lebih lengkap baca :Rumus dan Contoh Perkalian Silang (Cross) Vektor)

Sehingga didapat vektor normal : $\vec n (9,6,12)$
Titik yang dilalui bidang diambil titik A (sederhananya ambil titik pangkal 2 vektor yang di cross). Artinya titik yang dilalui adalah (2,1,1). Pada tahap ini , selanjutnya anda bisa menggunakan persamaan baku di atas sehingga di dapat perhitungan:

Untuk menguji apakah persamaan bidang dari 3 titik di atas benar atau tidak, anda bisa uji dengan subtitusi masing masing titik ke persamaan. Apakah memenuhi atau tidak. Bisa dilihat pengujiannya seperti berikut,