Cara Menyelesaikan Integral Fungsi Mutlak

martha yunanda integral

Salah satu bentuk permasalahan yang akan ditemui dalam integral adalah integral fungsi nilai mutlak. Pada halaman ini akan saya berikan bagaimana menentukan integral fungsi mutlak tersebut. Untuk notasi yang digunakan sama saja dengan nilai mutlak dimana fungsi diapit oleh dua garis lurus seperti berikut. |f(x)|.

Defenisi Fungsi Mutlak

Sebelum lebih mendalam pada integral, sedikit akan saya ingatkan tentang pengertian atau defenisi fungsi nilai mutlak. Secara matematis, sebuah fungsi nilai mutlak bisa ditulis defenisinya sebagai berikut,

$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right.$

Dalam penulisan lain, fungsi nilai mutlak bisa ditulis juga,

$|f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \,$ dengan catatan anda tidak boleh menyederhanakan menjadi f(x).

Mengenai syarat atau defenisi di atas, bisa dilihat aplikasinya pada contoh di bawah ini,

Contoh 1.

$| 2x + 5|$

Positif saat :

$2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2}$ ,

negatif saat :

$2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2}$ ,

Sesuai defenisi fungsi mutlak maka,

$| 2x + 5 | \,$ bisa ditulis:

$| 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right.$

Contoh 2.

$|x^2 - x - 6 |$

Positif saat:

$x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3$ ,

sehingga syarat positifnya adalah

$x \leq -2 \vee x \geq 3$

negatif saat:

$x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3$ ,

Sehingga bisa ditulis

$| x^2 - x - 6 | \,$ tanpa mutlak,

$| x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right.$

Integral Fungsi Mutlak

Defenisi matematis fungsi mutlak bisa dijelaskan sebagai berikut,

Asumsikan |f(x)|, ingin diintegralkan dalam batas

$a \leq b \leq c \,$ maka dapat diselesaikan dalam bentuk:

$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right.$

Atau bisa dihitung sebagai berikut,

$\int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx$

Contoh Soal, Pembahasan Integral Fungsi Nilai Mutlak

Soal 1.

$\int \limits_0^2 | 2x + 5| dx$

Jawab:

$|2x + 5| = (2x + 5) \,$ untuk batas

$x \geq -\frac{5}{2} , \,$ atau

$|2x + 5| = -(2x + 5) \,$ untuk batas

$x < -\frac{5}{2} , \,$

Hasil Integral :

Batas Integral [0,2]

$x \geq -\frac{5}{2} , \,$ maka yang diintegralkan hanya bagian positif saja :

$|2x + 5| = (2x + 5)$

$\begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align}$

Diperoleh Hasil akhir

$\int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14$ .

Soal 2.

$\int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx$
Jawab

$|x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \,$ untuk batas

$x \leq -2 \vee x \geq 3 , \,$ atau

$|x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \,$ untuk batas

$-2 < x < 3 , \,$
Hasil Integral:
Sebab diminta pada interval -3 sampai 5, maka berdasarkan bentuk nilai mutlak harus dibagi interval tersebut menjadi

$-3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \,$ dan

$3 < x < 5$ .

$|2x + 5| = (2x + 5)$

$\begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align}$
Silakan dilanjutkan menghitung 3 bagian tersebut secara integral biasa.

Soal 3. Hitunglah Nilai a, jika

$\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a$ ?

Jawab:
Mutlak hanya berada pada

$|x| \,$ , maka diubah bentuk

$|x| \,$ sesuai definisi harga mutlak:

$| x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right.$

$|x| \,$ terdefenisi sebagai berikut,

$|x| = x \,$ untuk batas

$x \geq 0 , \,$ atau

$|x| = -x \,$ untuk batas

$x < 0$

Maka keseluruhan fungsi

$3x^2 - 2|x| + 5 \,$ akan jadi,

$3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \,$ untuk batas

$x \geq 0 , \,$ atau

$3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \,$ untuk batas

$x < 0$

Hasil Integral

$\begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align}$
Maka diperolehlah