Materi dan Contoh Soal Pertidaksamaan Eksponen

martha yunanda aljabar, Eksponen

Ciri Ciri sebuah pertaksamaan yaitu mengandung tanda penghubung > , < , ≥, ≤, ≠. Sementara defenisi sederhana mengenai eksponen bisa dikatakan sebagai pangkat bilangan. Dalam penyelesaian pertaksamaan eksponen ini nantinya, tentu anda diharuskan tahu betul sifat sifat eksponen atau perpangkatan. Kemudian pastikan juga anda sudah memahami tentang penyelesaian persamaan eksponen.

Selain itu, saya di sini tak akan jelaskan lagi bagaimana menyelesaikan (mencari daerah penyelesaian) sebuah pertidak samaan. Kita akan fokus tentang bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan eksponen saja.

Penyelesaian Pertidaksamaan Eksponen

Jika

$a \in R, \,$ dan

$f(x) \,$ dan

$g(x) \,$ , membentuk pertaksamaan:

$a^{f(x)} > a^{g(x)} \,$ atau

$a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \,$ atau

$a^{f(x)} < a^{g(x)} \,$ atau

$a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka penyelesaiannya bisa dibentuk dengan melihat nilai a tersebut. Lebih rinci,
Untuk a>1

$a^{f(x)} > a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) > g(x)$

$a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) \geq g(x)$

$a^{f(x)} < a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) < g(x)$

$a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) \leq g(x)$
Bisa diperhatikan di atas, bentuk pertaksamaan pangkat tidak berubah.

Untuk 0<a<1

$a^{f(x)} > a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) < g(x)$

$a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) \leq g(x)$

$a^{f(x)} < a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) > g(x)$

$a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \,$ penyelesaiannya

$f(x) \geq g(x)$
Bisa diperhatikan bentuk pertaksamaan berubah.

Agar memudahkan, anda bisa lihat contoh cara penyelesaian pertaksamaan eksponen di bawah ini beserta langkahnya.

Contoh Soal Pertaksamaan eksponen

Soal 1.

$9^{x-1} < 3^{-x+2} \,$ ?
Pembahasan:

$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(nilai sesuai rumus } a & = 3 > 1 , \text{ tanda tidak berubah)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align}$
Jadi Daerah Penyelesaiannya =

$\{ x < \frac{4}{3} \}$

Soal 2.

$\left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x}$ ?
Pembahasan:

$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(nilai } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ tanda pertaksamaan diganti)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align}$
Jadi daerah penyelesaiannya =

$\{ x \leq \frac{5}{4} \}$

Soal 3:

$3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}}$ ?
Pembahasan :

$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(nilai } a & = 3 > 1 , \text{ tanda tidak berubah)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align}$
Lanjut dibuat dalam garis bilangan untuk mencari daerah penyelesaian.

Jadi daerah Penyelesaiannya =

$\{ -1 \leq x \leq 4 \}$

Soal 4:

$2^{2x+1} - 17.2^x + 8 > 0$ ?
Pembahasan:

$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^2x.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^2x - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align}$
Lanjutkan dengan membuat garis bilangan,