Kapan Sebuah Fungsi Dikatakan Tidak Memiliki Nilai Limit?

martha yunanda limit

Pada pengertian limit telah dijelaskan bahwasanya pengertian limit adalah hampiran nilai x yang mendekati fungsi pada suatu titik tertentu. Pada kenyataannya, ada titik yang tidak memiliki nilai hampiran. Dengan kalimat lain, hampiran yang dilakukan gagal.

Kondisi sebuah fungsi tidak memiliki limit pabila pada fungsi tersebut memiliki nilai hampiran yang berbeda ketika didekati dari kanan dan didekati dari kiri. Atau dalam kalimat matematisnya, nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tidak sama.

Untuk menguji apakah suatu fungsi memiliki limit pada titik tertentu maka dilakukan pengujian dengan yang disebut limit kiri (hampiran kiri) dan limit kanan (hampiran kanan). Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, pabila nilai hampiran tersebut berbeda, maka nilai limit tersebut tidak ada.

Catatan penting, hampiran kiri atau limit kiri biasa dinotasikan $\displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ dan hampiran kanan dinotasikan $\displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ Bisa anda perhatikan perbedaanya pada 'tanda pangkat' di huruf a.

Jika di analisa dengan grafik, atau fungsi tersebut digambarkan - fungsi yang tak memiliki nilai limit akan terpotong (atau tak kontinu). Ini erat kaitannya dengan sifat kontinu fungsi. Lebih lanjut anda bisa baca di: Hubungan Limit dengan ke- Kontinuan Fungsi. Berikut contoh beberapa grafik yang saya maksud.

Pada grafik (i) fungsi tersebut memiliki nilai limit di titik x=a. Sebab grafik tidak terpotong. Berbeda hal dengan grafik (ii) dimana fungsi tersebut tidak memiliki limit di titik x=a Sebab grafik terpotong di sana. Analitisnya, karena terpotong maka nilai hampiran dari kiri dan kanan pastinya berbeda.

Sekarang mari kita lihat dengan contoh soal mana yang tidak memiliki limit dan mana yang memiliki limit.

#Soal . Apakah fungsi berikut memiliki nilai limit di titik x=1?  $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $$

#Pembahasan:
Dari defenisi fungsi di atas kita ketahui untuk x<1 (hampiran/limit kiri) fungsinya x². Sementara untuk x>1 (hampiran/limit kanan) fungsinya didefenisikan x+1. Sekarang mari kita uji masing masingnya.

Hampiran Kiri/Limit Kiri
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 = 1$

Hampiran Kanan/Limit Kanan
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } x+1 = 1+1=2$

Terlihat jelas bahwasanya hampiran kiri dan hampiran kanan memiliki nilai yang berbeda. Oleh sebab itu kita bisa katakan bahwasanya fungsi tersebut tidak memiliki nilai limit.

Sebuah fungsi dikatakan memiliki nilai limit jika dan hanya jika nilai limit kiri dan limit kanan sama

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn