Salah satu penerapan dan kegunaan limit dalam matematika adalah untuk menentukan suatu fungsi apakah kontinu atau tidak. Lalu apa hubungan ke kontinu an fungsi dengan limit?
Fungsi kontinu di sebuah titik misalkan itu di titik x=a adalah ketika grafik fungsi di titik tersebut tidak terputus. Sebagai ilustrasi awal, perhatikan grafik fungsi di bawah ini, $$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} $$
Pada grafik di atas terlihat pada titik x=1, grafik terputus, kita bisa katakan bahwasanya f(x) tidak kontinu pada x=1.
Untuk menentukan sebuah fungsi kontinu atau tidak secara kalkulasinya, maka disinilah peran limit. Adapun syarat sebuah fungsi kontinu sebagai berikut,
Misalkan fungsi f(x) akan kontinu di titik x=a, maka harus memenuhi syarat
i). f(a) memiliki nilai
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada. Dengan kata lain nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut ada.
iii). Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Agar lebih paham, anda bisa perhatikan contoh soal dan pembahasan limit fungsi kontinu berikut ini,
Soal 1. Buktikan fungsi f(x)= 2x+1 kontinu di titik x=2
Pembahasan:
Untuk membuktikan fungsi tersebut kontinu atau tidak, kita akan uji apakah memenuhi syarat tersebut atau tidak.
i) f(2) = 2.2+1 = 5. Nilai f(2) ada, memenuhi syarat pertama.
i). f(a) memiliki nilai
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada. Dengan kata lain nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut ada.
iii). Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Agar lebih paham, anda bisa perhatikan contoh soal dan pembahasan limit fungsi kontinu berikut ini,
Soal 1. Buktikan fungsi f(x)= 2x+1 kontinu di titik x=2
Pembahasan:
Untuk membuktikan fungsi tersebut kontinu atau tidak, kita akan uji apakah memenuhi syarat tersebut atau tidak.
i) f(2) = 2.2+1 = 5. Nilai f(2) ada, memenuhi syarat pertama.
ii) Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{-} } 2x = 1 = 5 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+} } 2x + 1 = 5 $
Karena nilai limit kiri = nilai limit kanan maka nilai limit ada yaitu 5. Syarat ke dua terpenuhi.
iii) Nilai limit dengan nilai fungsi sama. Yaitu sama-sama 5, artinya ini juga memenuhi syarat ke-3. Sekarang terbukti sudah, karena telah memenuhi ketiga syarat fungsi kontinu.
Soal 2. Temukanlah apa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2} $ kontinu di titik $ x = 2 $ ?
Pembahasan:
i) $ f(2) = \frac{2^2 - 4}{2-2} = \frac {0}{0} $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+} } 2x + 1 = 5 $
Karena nilai limit kiri = nilai limit kanan maka nilai limit ada yaitu 5. Syarat ke dua terpenuhi.
iii) Nilai limit dengan nilai fungsi sama. Yaitu sama-sama 5, artinya ini juga memenuhi syarat ke-3. Sekarang terbukti sudah, karena telah memenuhi ketiga syarat fungsi kontinu.
Soal 2. Temukanlah apa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2} $ kontinu di titik $ x = 2 $ ?
Pembahasan:
i) $ f(2) = \frac{2^2 - 4}{2-2} = \frac {0}{0} $
Karena nilai f(2) tidak ada (ingat 0/0 tidak terdefenisi) maka untuk syarat pertama fungsi ini tidak memenuhi syarat, maka sudah barang pasti fungsi ini tidak kontinu di x=2.
Soal 3. Tentukan di titik mana fungsi $ f(x) = \frac {1}{x^2-6x+8} $ tidak kontinu!
Pembahasan:
Agar fungsi ini tak kontinu, kita coba gugurkan dengan syarat pertama saja. Kita akan buat penyebut menjadi 0. Karena untuk nilai 1/0 = tak hingga (tak ada nilainya). $$x^2-6x+8 =0 \\ (x-4)(x-2) = 0 \\ x=4 \text {atau} x=2$$ Jadi fungsi tersebut tidak kontinu pada x=2 atau x=4.
Tips: Untuk fungsi berbentuk pecahan, anda tinggal mencari pembuat nol penyebutSoal 4. Tentukan nilai k dari fungsi berikut agar kontinu di titik x=4 $$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx - 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $$
Pembahasan:
i) f(4) =3.4+7 =19. (Ambil yang fungsinya memiliki nilai saja) asumsikan memenuhi.
ii) Nilai Limit kiri ( daerah kiri tentunya yang kecil dari 4) $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
Nilai Limit kanan $ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx - 1 = k.4 - 1 = 4k - 1 $
Nilai limit ada jika nilai limit kiri = nilai limit kanan. dengan begitu kita bisa menyamakannya.
19=4k-1
k=5.
iii) Ketika nilai k=5 maka, nilai limit kiri = limit kanan = nilai limit = nilai fungsi =19. Artinya saat k=5 ini fungsi tersebut bisa kontinu di x=4.
Sedemikianlah bagaimana contoh penerapan limit dalam menentukan apakah suatu fungsi kontinu atau tidak. Semoga bermanfaat, dan pabila ada tambahan, pertanyaan dll bisa disampaikan di kolom komentar.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Hubungan Limit dengan ke- Kontinuan Fungsi"
Post a Comment