Kapan Sebuah Fungsi f(x) tidak Memiliki Turunan?

martha yunanda fungsi, turunan

Berdasarkan defenisi turunan fungsi dengan pendekatan limit yang kita kenal, maka sebuah fungsi f(x) tak memiliki turuna jika $$f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \\ \text {tidak ada nilai limit}$$

Jadi, bisa saja sebuah fungsi tidak memiliki turunan. Karena tidak memiliki nilai limit. Lalu, bagaimana fungsi yang tidak mempunyai nilai limit?

Maksud dari fungsi yang tidak memiliki nilai limit adalah, dimana fungsi tersebut memiliki nilai limit kiri yang tak sama dengan nilai limit kanan. Sebagai contoh, fungsi yang tidak memiliki nilai limit atau fungsi yang tidak memiliki turunan adalah f(x)=|x| di x=0.

Untuk membuktikannya perhatikan pembuktian fungsi yang tidak memiliki turunan di bawah ini.

Defenisi Turunan berdasarkan limit, $$f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} \\ f^\prime (0) = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f( x ) - f(0)}{x-0} \\ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| - |0|}{x} \\ = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x}$$
Sementara itu arti dari fungsi mutlak (modulus) secara matematis bisa ditulis,
$$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. \\ \\ \text{Artinya berlaku :} \\ x \geq 0 \rightarrow |x| \ nilainya \ x \\ x < 0 \rightarrow |x| \ nilainya \ -x$$
Sekarang kita akan periksa limit kiri dan limit kanannya.
-Nilai Limit Kiri x < 0
berlaku |x| = - x
$$\lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x} = \lim_{ x \to 0^- } \frac{-x }{x} \\ \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x}= \lim_{ x \to 0 } -1 \\ \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x}= -1$$
-Nilai Limit Kanan x>0
berlaku |x| = x
$$\lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \lim_{ x \to 0^+ } \frac{x }{x} \\ \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \lim_{ x \to 0 } 1 \\ \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = 1$$

Karena nilai limit kanan (1) tidak sama dengan limit kiri (-1) maka fungsi ini tidak memiliki turunan di x=0.

Jika dikaitkan dengan materi fungsi, maka jelas bahwasanya sebuah fungsi kontinu memiliki nilai limit (artinya nilai limit kanan dan limit kiri-nya sama). Oleh sebab itu, sebuah fungsi kontinu akan memiliki nilai turunan di x=a. Lalu apa hubungannya ke – kontinu –an fungsi dengan turunan?

Sederhana sekali, jika fungsi tersebut tidak memiliki turunan di x=a, maka kita bisa menyimpulkan bahwasanya fungsi tersebut tidak kontinu. Baca juga: Pembuktian dan Penurunan Rumus Turunan

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn