Cara Menghitung Luas Segi Empat Tali Busur

martha yunanda elips dan lingkaran, trigonometri

Pada dasarnya di sini kita akan mencari luas segiempat pada sebuah lingkatan dimana setiap titik sudut segiempat tersebut menyentuh perimeter lingkaran. Gambaran awalnya bisa anda perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan anda akan mencari luas segiempat yang berwarna biru. Untuk mencari luas tersebut dibutuhkan pemahana tentang Dalil Sinus, Dalil Cosinus dan Nilai Trigonometri sudut berelasi. Semua topik ini bisa anda lihat di daftar isi blog ini pada topik trigonometri.

Rumus untuk mencari Luas segiempat tali busur ini adalah:

Misalkan terdapat segiempat ABCD dengan AB=a, BC=b, CD=c dan DA=d. Maka luas segiempat tersebut:

$L= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

dimana

$s = \frac{a+b+c+d}{2}$

Pembuktian Rumus Luas Segiempat Tali Busur pada Lingkaran

Berdasarkan gambar di atas. Anda harus ingat bahwasanya jumlah sudut A+C dan B+D = 180 derajat. Sudut tersebut masing masing bisa ditulis,

$B+D = 180^ \circ \\ D = 180^ \circ - B \\ \sin D = \sin (180^ \circ - B) \\ \sin D= \sin B \\ \text {untuk cosinus} \\ \cos D = \sin (180^ \circ - B) \\ \cos D=- \cos B$

Perhatikan segitiga BAC dan DAC. Dengan menggunakan aturan/dalil Cosinus bisa ditulis.

$(i) \, AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B$

$(ii) \, AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B)$

$\begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \end{align}$

Sekedar mengingatkan:

Pemfaktoran Aljabar:

$X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$

Identitas trigonometri:

$\sin ^2 B + \cos ^2 B = 1$

Jika dimisalkan:

$s = \frac{a+b+c+d}{2}$

$\begin{align} \sin ^2 B & = 1 - \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 - \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 - \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - (c^2 + d^2 - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd - (a^2 + b^2 - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 - (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 - (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align}$

Perhatikan kembali segitiga BAC dan DAC:

$L \triangle_{BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B$

$L \triangle _{DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B$

Luas segiempat ABCD:

$\begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align}$

Terbukti Bukan?

Terakhir, akan dilihat contoh soal dan pembahasan mencari luas segiempat tali busur ini.