Contoh Soal dan Pembahasan Bentuk a+bi dalam Aljabar Kompleks

Di bawah ini kita akan bahas sebuah contoh soal dan pembahasan dalam Aljabar Kompleks. Materi ini ada pada tingkat perkuliahan biasanya akan anda temui. Sederhananya kita sebut saja penyederhanaan bentuk bilangan kompleks menjadi a+bi. Berikut soalnya,
Ubahlah Bentuk soal di bawah ini menjadi a+bi dan tentukan hasil penjumlahannya...

$\left (\frac {-1+i \sqrt3}{2} \right )^6+ \left (\frac {-1-i \sqrt3}{2} \right )^6$

Pembahasan:
Pertama kita pecah bentuk pecahan tersebut dari:

$\left (\frac {-1+i \sqrt3}{2} \right )^6+ \left (\frac {-1-i \sqrt3}{2} \right )^6$

Menjadi:

$\left (\frac {-1}{2}+ \frac {i \sqrt3}{2} \right )^6+ \left (\frac {-1}{2}- \frac {i \sqrt3}{2} \right )^6 =...$

Coba kita bawahkan pada trigonometri:

$\frac {-1}{2}= \cos \frac {2}{3} \pi \\ \frac {\sqrt 3}{2}= \sin \frac {2}{3} \pi \\ \frac {-1}{2}= \cos \frac {4}{3} \pi \\ \frac {-1}{2}= \sin \frac {4}{3} \pi$

Silakan di subtitusikan pada persamaan terakhir yang ada, sehingga bisa ditulis,

$\left ( \cos \frac {2}{3} \pi + i \sin \frac {2}{3} \pi \right )^6+\left (\cos \frac {4}{3} \pi+i \sin \frac {4}{3} \pi \right )$

Gunakan Teorema De Moivre's

$r(\cos x+i \sin x)^k=r^k (\cos kx+i \sin kx) \\ \text {r=1} \\ (\cos x+ i \sin x)^k= (\cos kx+ i \sin kx)$

Gunakan teorema (r=1) di atas untuk menyelesaikan bentuk persamaan dimana masing masing akan:

$\left ( \cos \frac {2}{3} \pi + i \sin \frac {2}{3} \pi \right )^6 = \left ( \cos 6 \times \frac {2}{3} \pi + i \sin 6 \times \frac {2}{3} \pi \right )$

dan

$\left ( \cos \frac {4}{3} \pi + i \sin \frac {4}{3} \pi \right )^6 = \left ( \cos 6 \times \frac {4}{3} \pi + i \sin 6 \times \frac {4}{3} \pi \right )$

Jadinya persamaan:

$\left ( \cos \frac {2}{3} \pi + i \sin \frac {2}{3} \pi \right )^6+\left (\cos \frac {4}{3} \pi+i \sin \frac {4}{3} \pi \right )^6$
akan jadi

$\left ( \cos 6 \times \frac {2}{3} \pi + i \sin 6 \times \frac {2}{3} \pi \right )+\left ( \cos 6 \times \frac {4}{3} \pi + i \sin 6 \times \frac {4}{3} \pi \right )$