Pembuktian Rumus Garis Berat Segitiga dengan Aturan Cosinus
Jika anda tak paham dalil atau aturan Cosinus silakan baca [ATURAN COSINUS]. Misalkan segitiga ABC seperti gambar di bawah ini.
Misal sudut $ ABD = D_2 \, $ dan sudut $ ADC = D_1 $.
Sudut $ D_1 $ dan $ D_2 $ saling berpelurus, jumlahnya $ 180^\circ$.
$ D_1 + D_2= 180^\circ \rightarrow D_2 = 180^\circ - x $.
Sehingga : $ \cos D_2 = \cos (180^\circ - D_1 ) = - \cos D_1 $.
Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos D_2 \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .(-\cos D_1) $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos D_1 \, $ ...(i).
Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ b^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos D_1 \, $ ...(ii).
*). Eliminasi (i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos D_1 & \\ b^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos D_1 & + \\ \hline b^2 + c^2 = 2d^2 + 2m^2 & \\ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - m^2 & \\ \end{array} $
masukkan nilai $ m = \frac{1}{2}a $.
$ \begin{align} d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - m^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - (\frac{1}{2}a)^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 \end{align} $
Terbukti panjang garis berat $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 $
Pembuktian Rumus Garis Berat dengan Dalil Stewart
Masih dari segitiga yang sama. Silakan baca mengenai Dalil Stewart agar lebih paham.
Panjang $ BD = DC = m = \frac{1}{2}a \, $ dan panjang $ AD = d $.
Dalil Stewart pada segitiga ABC dan substitusi $ m = \frac{1}{2}a $.
$ \begin{align} d^2 . a & = m.b^2 + m.c^2 - m.m.a \\ d^2 . a & = \frac{1}{2}a.b^2 + \frac{1}{2}a.c^2 - \frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a.a \, \, \, \, \text{....(bagi } a ) \\ d^2 & = \frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2 \end{align} $
Terbukti panjang garis berat $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 $
Jadilah Komentator Pertama untuk "Bukti Panjang Garis Berat dengan Aturan Cosinus dan Dalil Stewart"
Post a Comment