10 Soal Latihan Integral Trigonometri dan Pembahasannya

martha yunanda integral, trigonometri

Berikut terdapat 10 soal integral trigonometri dan pembahasannya yang bisa anda gunakan untuk mendukung pembelajaran matematika yang tentunya dalam permasalahan integral. Semoga bisa membantu meningkatkan pemahaman dan ketrampilan anda dalam mengerjakan soal.

Soal 1. $ \int e^x \sin x \ dx =... $
Misal $e^x=u \\ \sin x dx = dv$
maka
$e^x dx = du \\ - \cos x = v$
Susun sesuai rumus integral parsial dimana:

$\int u \ dv = uv - \int v \ du$

Akan di dapat:
$\int e^x \sin x \ dx =e^x. (- \cos x) - \int (- \cos x )e^x dx \\ -e^x \cos x+ \int e^x \cos x dx$

Perhatikan bagian akhir:
$\int e^x \cos x dx$
Lakukan Parsial sekali lagi dimana:
$e^x=u \\ \cos x dx = dv$
maka
$e^x dx = du \\ \sin x = v$
susun sesuai rumus di atas:
$\int e^x \cos x dx= e^x \sin x - \int \sin x \ e^x dx \\ e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$

Jika disambung dengan yang awal tadi diperoleh:
$\int e^x \sin x \ dx =- e^x. ( \cos x) + \int e^x ( \cos x ) dx \\ \int e^x \sin x \ dx =- e^x. ( \cos x) + e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$
Pindahkan $\int e^x \sin x dx $ ke kiri semua sehingga
$ 2 \int e^x \sin x \ dx =- e^x. ( \cos x) + e^x \sin x \\ \int e^x \sin x \ dx = \frac {- e^x. ( \cos x) + e^x \sin x }{2}+C$

Soal 2. $ \int e^x \cos x \ dx =... $
Misal $e^x=u \\ \cos x dx = dv$
maka
$e^x dx = du \\ \sin x = v$
Susun sesuai rumus integral parsial dimana:
$\int u \ dv = uv - \int v \ du$
Akan di dapat:
$\int e^x \cos x \ dx =e^x. ( \sin x) - \int ( \sin x )e^x dx \\ e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$

Perhatikan bagian akhir:
$\int e^x \sin x dx$
Lakukan Parsial sekali lagi dimana:
$e^x=u \\ \sin x dx = dv$
maka
$e^x dx = du \\ - \cos x = v$
susun sesuai rumus di atas:
$\int e^x \sin x dx= e^x - \cos x - \int (- \cos x) \ e^x dx \\ -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx+C$

Jika disambungkan lagi:
$\int e^x \cos x \ dx =e^x \sin x - \int e^x \sin x dx $
$\int e^x \cos x \ dx =e^x \sin x - (-e^x \cos x + \int e^x \cos x dx)$
$\int e^x \cos x \ dx =e^x \sin x +e^x \cos x - \int e^x \cos x dx)$
Pindahkan $\int e^x \cos x dx $ ke kiri semua sehingga
$2 \int e^x \cos x \ dx =e^x \sin x +e^x \cos x)$
$\int e^x \sin x \ dx = \frac { e^x. ( \cos x) + e^x \sin x }{2}$

Soal 3: $ \int 3x \sin 2x=... $
Anda bisa gunakan aturan parsial dengan mengunakan tabel. Atau dikenal dengan integral tanjalin Penjelasan lebih lengkap bisa dibaca di " Integral Tanjalin".

$\int 3x \sin 2x = - \frac {3x}{2} \cos 2x - \frac {3}{4} \sin 2x+C$

Soal 4. $\int x^2 \tan 2x=...$
Ini agak susah diselesaikan dengan integral tanjalin. Karena kita tidak memiliki $\int \tan 2x$. Soal ini harus diselesaikan dengan fungsi hiperbolik dimana:

Soal 5 . $ \int \sec ^2 x \tan x dx =...$
misal
$\tan x =u \\ \sec ^2 x \ dx = du \\ dx = \frac {du}{\sec ^2 x} $
subtitusi
$\int \sec ^2 x \ u \frac {du}{\sec ^2 x} = \int u \ du \\ = \frac {1}{2}u^2 +C \\ \frac {1}{2} \tan ^2 x + C$

Soal 6. $ \int \sec ^3 x \tan x dx =...$
$ \int \sec ^3 x \tan x dx = \int \sec ^2 x \sec x \tan x dx =...$
misal
$ \sec x = u \\ \sec x \tan x dx = du \\ dx= \frac {du}{\sec x \tan x}$
Subtitusi
$ \int u^2 \sec x \tan x \ \frac {du}{\sec x \tan x} \\ \int u^2 du \\ \frac {1}{3} u^3+C \\ \frac {1}{3} \sec ^3 + C$

Soal 7. $ \int 4 \sin 2x \cos 6x \ dx=....$
Gunakan rumus perkalian trigonometri. dimana

$ \int 4 \sin 2x \cos 6x \ dx= \int 4. \frac {1}{2} ( \sin 8x + sin (-4x)) \ dx \\ 2 \int \sin 8x - \sin 4x \ dx \\ 2 ( \frac {1}{8} (- \cos 8x) - \frac {1}{4} (- \cos 4x) ) \\ - \frac {1}{4} \cos 8x + \frac {1}{2} \cos 4x+C$

Soal 8. $\int \frac {\cos \frac {1}{x} }{x^2} \ dx =...$
Misal $ u = \frac {1}{x} = x^{-1} \\ du = -x ^{-2} dx = - \frac {1}{x^2} dx \\ dx = - x^2 du$

Subtitusi:
$\int \frac {\cos u }{x^2} \ - x^2 du = - \int \cos u \ du \\ - \sin u +c = - \sin \frac { 1}{x} +C $

Soal 9. $ \int \sin ^3 x \cos ^2 x dx=...$
Ubah bentuk,
$ \int \sin ^3 x \cos ^2 x dx= \int \sin ^2 x \cos ^2 x \sin x \ dx $
Identitas trigonometri:
$ sin ^2 x = 1- cos ^2 x$
$ \int \sin ^2 x \cos ^2 x \sin x \ dx = \int ( 1- cos ^2 x ) \cos ^2 x \sin x \dx \\ \int ( \cos ^2 x - \cos ^4 x ) \sin x dx $

Misalkan
$ u = cos x \\ du = -sin x dx \\ du = \frac {du}{ -sin x}$
Subtitusikan:
$ \int (u^2 - u^4 ) \sin x \frac {du}{ -sin x} = \int - (u^2 -u^4) du \\ \int u^4 -u^2 du \\ \frac {1}{5} u^5 - \frac {1}{3} u^3 +C \\ \frac {1}{5} \sin ^5 x - \frac {1}{3}\sin ^3 x+C $

Soal 10. $ \int \frac { \cos 3x}{ 1- \sin x} \ dx =... $