Contoh Soal Gradien Garis Singgung dengan Turunan

martha yunanda turunan

Pada halaman ini akan dibahas mengenai salah satu contoh bentuk aplikasi turunan. Adapun penggunaan turunan di sini adalah untuk mencari gradien dan persamaan garis singgung sebuah kurva.

Misalkan ada kurva dengan fungsi f(x). maka gradien dan persamaan garis singgung di titik (a,b) bisa ditulis:
m= f'(a) , m = gradien
y-b= m(x-a) ; persamaan garis singgung

Contoh Soal Aplikasi Turunan pada Gradien Garis:
Soal 1. Garis singgung pada kurve $y= x^3-3x^2$ di titik potongnya dengan sumbu x yang absisnya positif memiliki gradien...
a) 3   b ) 9   c) 18  d)27  e)32

Pembahasan:
Misal $y=f(x) = x^3-3x^2$
Gradien: m = f'(x) = $3x^2-6x$
Disebutkan dititik potong sumbu x, artinya y=0. Saat y=0 maka nilai x,
$y= x^3-3x^2 \\ 0= x^2(x-3) \\ x=0 \cup x=3$
Jadi yang dimaksud pada titik (3,0) sebagai (a,b) pada rumus di atas. Sehingga gradiennya menjadi,
m=f'(a)= $3.3^2-6.3=9$

Soal 2. Kurva $y=3x - \frac {3}{x^2}$ memotong sumbu x di titik P. Persamaan garis singgung kurva di titik P adalah...
a) x-9y-9=0
b) x-9x+9=0
c) 9x-y+9=0
d) 9x-y-9=0
e) 9x+y-9=0


Pembahasan:
Kalimat memotong sumbu x di titik P, artinya y=0. Bisa diketahui koordinat titik singgung,
y=0
$0=3x - \frac {6}{x^2} \\ x=1$
(a,b) = (1,0).
Gradien:
f'(x)= y'=3+ $\frac {3}{x^3}$
m=f'(a) =3+ $\frac {3}{1^3}=9$
Persamaan garis singgung:
y-b=m(x-a)
y-0=9(x-1)
y-9x+9=0 atau 9x-y-9=0

Soal 3. Garis singgung kurva $y=3-x^2$ di titik P(a,-b) dan Q(a,b) memotong sumbu y di titik R. Nilai sehingga segitiga PQR sama sisi adalah:
$a) 2 \sqrt3 \\ b) \sqrt 3 \\ c) \frac {1}{2} \sqrt 3 \\ d ) \frac {1}{3} \sqrt 3 \\ e) \frac {1}{4} \sqrt 3$

Penyelesaian:
Pertama mari di buat sketsa grafik tersebut.

Koordinat P (-a,b) dan Q (a,b). Dengan demikian kita tahu panjang PQ = 2a. Syarat segitiga disebutkan sama sisi. Disini akan anda bisa tulis PQ=PR=QR. Titik R titik potong grafik dengan sumbu y (x=0). Titik R yang dimaksud (0,3).
QR =PQ
Ingat rumus jarak antara dua titik $(x_1,y_1)$ dengan $(x_2, y_2)$ adalah:
$d = \sqrt {(x_1 -x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
Panjang PR dan PQ masing masing ditulis dalam kesamaan,
$\sqrt {(x_Q -x_R)^2+(y_Q-y_R)^2} = 2a$
$(x_Q -x_R)^2+(y_Q-y_R)^2 = 4a^2$
$(a-0)^2+(b-3)^2 = 4a^2 \\ a^2+(b-3)^2 =4a^2$
simpan persamaan ini.
$y=3-x^2$ karena melewati titik P(-a,b) maka berlalu
$b=3 - (-a)^2 \\ b= 3-a^2$
Subtitusikan ke persamaan 1
$a^2+(b-3)^2 =4a^2 \\ a^2+(3-a^2-3)^2 =4a^2 \\ a^2+(-a^2)^2 =4a^2 \\  a^2+(a)^4 =4a^2  \\ (a)^4 =3a^2 \\ a^2=3 \\ a= \sqrt 3$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn