1) Buatlah Permisalan dimana nilai yang akan dicari dengan x
2) Bentuk permisalan di atas menjadi f(x) =0. Kita akan Gunakan beberapa sifat pangkat dalam penyelesaian ini diantaranya,
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} ; \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} ; $
$ a^\frac{1}{n} = b \rightarrow a = b^n $
3) Hitung dengan metode Newton Raphson, Baca: Perhitungan Iterasi Metode Newton Raphson.
Untuk memudahkan memahami langkah di atas, mari kita lihat contoh soal dan pembahasan metode Newton Raphson dalam menghitung akar bilangan berikut ini,
Tentukanlah nilai $ \sqrt[5]{37} \, $
Pembahasan:
e = window.adsbygoogle || []).push({}); Langkah 1. Misal $ \sqrt[5]{37} = x $
Langkah 2. $ f(x) = 0 $ . Sehingga bila digoyang sedikit akan menjadi
$$ \begin{align} x & = \sqrt[5]{37} \\ x & = 37^\frac{1}{5} \\ x^5 & = 37 \\ x^5 – 37 & = 0 \end{align} $$
Nah kita dapatkan,
$$ f(x) = x^5 – 37 $$
Turunan pertamanya : $ f^\prime (x) = 5x^4 $ .
Langkah 3. Kita hitung dengan metode Newton Raphson
Diambil nilai awal $ x_0 = 2 \, $ (nilai awal yang diambil terserah Anda). Lanjut kita lakukan iterasi,
$ x_0 = 2 \, $ pada rumus : $$ x_{k+1} = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} $$ .
iterasi ke-1 untuk $ x_1 $
$$ \begin{align} x_0 = 2 \rightarrow f(x_0) & = f(2) = 2^5 – 37 = -5 \\ f^\prime (x_0) & = f^\prime (2) = 5.2^4 = 80 \\ k = 0 \rightarrow x_{k+1} & = x_k – \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{0+1} & = x_0 – \frac{f(x_0)}{f^\prime (x_0)} \\ x_{1} & = 2 – \frac{-5}{80} \\ x_{1} & = 2,0625 \end{align} $$
iterasi ke-2 untuk $ x_2 $
$x_1 = 2,0625 \rightarrow f(x_1) = f(2,0625) = (2,0625)^5–37 = 0,322419167$
$f' (x_1) = f' (2,0625) = 5.(2,0625)^4 = 90,47859192$
$k=1 \rightarrow x_{k+1}=x_k- \frac {f(x-k)}{f'(x-k)} $
$x_{1+1}=x_1 - \frac {f(x_1)}{f'(x-1)} \\ x_{2} = 2,0625 - \frac{0,322419167}{90,47859192} \\ x_{2} = 2,05893651$
iterasi ke-3 untuk $ x_3 $
$$\begin{align} x_2 = 2,05893651 \rightarrow f(x_2) & = f(2,05893651) = (2,05893651)^5-37 = 0,001112197 \\ f^\prime (x_2) & = f^\prime (2,05893651) = 5.(2,05893651)^4 = 89,85491281 \\ k = 2 \rightarrow x_{k+1} & = x_k - \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{2+1} & = x_2 - \frac{f(x_2)}{f^\prime (x_2)} \\ x_{3} & = 2,05893651- \frac{0,001112197 }{89,85491281} \\ x_{3} & = 2,05892414 \end{align}$$
iterasi ke-4 untuk $ x_4 $
$$ \begin{align} x_3 = 2,05892414 \rightarrow f(x_3) & = f(2,05892414) = (2,05892414)^5 - 37 = 1,33723 \times 10^{-8} \\ f^\prime (x_3) & = f^\prime (2,05892414) = 5.(2,05892414)^4 = 89,85275211 \\ k = 3 \rightarrow x_{k+1} & = x_k- \frac{f(x_k)}{f^\prime (x_k)} \\ x_{3+1} & = x_3 -\frac{f(x_3)}{f^\prime (x_3)} \\ x_{4} & = 2,05892414 -\frac{1,33723 \times 10^{-8} }{89,85275211} \\ x_{4} & = 2,05892414 \end{align}$$
Karena iterasi ke-3 dan ke-4 sudah sama, $ x_3 = x_4 = 2,05892414 \, $ Iterasi selesai, dengan demikian kita dapatkan nilai x tersebut adalah $ x = 2,05892414$
Jadi, nilai $ \sqrt[5]{37} = 2,05892414 \, $. Selanjutnya: Cara Mencari Titik Potong 2 Kurva dengan Metode Newton Raphson
Jadilah Komentator Pertama untuk "Menghitung Nilai Akar Bilangan dengan Metode Newton Raphson"
Post a Comment