Permasalahan ini pertama kalinya dipekenalkan oleh Leonardo Pisano yang juga dikenal dengan Fibonacci pada abad ke-13 dalam buku-nya Liber abaci. Permasalahan yang dikemukakan seperti berikut,
Misalkan sepasang kelinci muda (beda kelamin) diletakkan dalam sebuah pulau. Sepasang kelinci tersebut tidak berkembang biak sampai berumur 2 bulan. Setelah berumur 2 bulan, setiap bulan masing-masing kelinci melahirkan sepasang kelinci. Temukan relasi rekurensi untuk menyatakan banyaknya pasangan kelinci dalam pulau setelah n bulan dengan asumsi bahwasanya tak ada kelinci yang pernah mati.
Solusi dan Pembuktian:
Misal banyak kelinci pada bulan ke-n adalah $k_n$. Akan ditunjukkan $k_n$ dengan $n=1,2,3...$ adalah suku pada barisan Fibonacci.
Jumlah kelinci bisa dibuat model matematika dalam bentuk relasi rekurensi. Perhatikan,
Bulan pertama = $k_1=1$
Bulan kedua = $k_2= 1$ (bulan kedua kelinci belum berkembang biak).
Dua di atas adalah syarat awal. Kemudian untuk $n\geq 3$
Bulan ketiga =$k_3=2$ Karena dari induk betina akan melahirkan sepasang kelinci.
Bulan ke-empat =$k_4=3$ Karena yang baru lahir belum berkembang biak. Masih induk 'pertama berkembang biak sepasang lagi.
Bulan ke-lima =$k_5=3+(1+1)=3+2=5$. Jumlah kelinci pada bulan ke-empat + 1 anak dari induk pertama + 1 'cucu' dari kelinci pertama.
Bulan ke-lima =$k_6=5+(1+1+1)=5+3=8$. Jumlah kelinci pada bulan ke-lima+ 1 anak dari induk pertama + 1 'cucu' dari kelinci pertama+ 1 cicit dari anak pertama. dst
Dari bentuk di atas bisa tergambar bahwasanya pasangan kelinci bulan ini adalah jumlah pasangan kelinci pada sebelumnya di tambah dengan jumlah kelinci yang baru lahir dengan jumlah kelinci dua bulan sebelumnya. (ingat kelinci pada bulan pertama belum berkembang biak).
Sehingga dalam bentuk umum bisa ditulis:
$k_n=k_{n-1}+k_{n-2}$
dimana
$k_n$ = jumlah kelinci bulan ke-n
$k_{n-1}$= jumlah kelinci bulan sebelumnya
$k_{n-2}$ = jumlah kelinci 2 bulan sebelumnya.
Sehingga diuraikan akan menjadi bilangan fibonacci ke-n. Jadi jumlah kelinci pada bulan ke-n sesuai dengan bilangan fibonacci ke-n. Berikutnya: Contoh Relasi Rekurensi: Menara Hanoi
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Relasi Rekurensi: Kelinci dan Bilangan Fibonacci"
Post a Comment