Jarak Dua Titik Koordinat Kutub atau Polar

martha yunanda geometri, Ilmu

Dalam melakukan perhitungan antara dua titik atau jarak antara dua titik dengan koordinat polar bisa dilakukan dengan melakukan konversi ke koordinat Cartesius terlebih dahulu (Baca sebelumnya : Perbedaan dan Pengertian Sistem Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius. Lalu kita gunakan rumus:
$ \sqrt { (x_2 – x_1)^2+ (y_2-y_1)^2}$

Salah satu kegunaan Jarak antara dua titik Koordinat Polar adalah Mencari panjang tali busur

Pilihan lain jika terasa terlalu lama dan berbelit belit karena harus mengubah koordinat terlebih dahulu bisa dilakukan dengan rumus lainnya yaitu:
Misalkan titik A($r_1, \theta _1$) , titik B($r_2, \theta _2$) ,

Coba kita ubah dulu ke Koordinat cartesius :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $

Jarak antara titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Dari hasil subtitusi tersebut bisa diperoleh : ($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) dan didapatkan bentuk umumnya :

$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Contoh Soal dan Pembahasan:

1) Berapakah panjang AB jika diketahui titik A($3,160^\circ $) dan titik B($4, 100^\circ$)?
Pembahasan :

Diketahui: $ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $
Jarak AB/Panjang AB adalah :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 - 2.3.4. \cos ( 160^\circ - 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 - 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 - 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 - 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $
Jadi, panjang ruas garis AB adalah $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang.

Pembuktian rumus jarak dua titik pada koordinat Polar

Dalam pembuktian rumus jarak antara dua titik pada koordinat polar kita akan membutuhkan beberapa rumus dalam trigonometri:

1. Identitas : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $ 
2. Selisih sudut : $ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

Selanjutnya dilakukan pembuktian:
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 - r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 - 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & - 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) - 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 - \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Jadi, rumus jarak antara dua titik dengan koordinat kutub/polar adalah $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 - \theta _1) } \end{align} $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn