Menentukan Kuartil dalam Statistika

martha yunanda statistika

Disamping adanya ukuran pemusatan data, ukuran penyebaran data juga dikenal ukuran letak data. Paling sederhana adalah nilai tengah atau median, dimana data dibagi menjadi 2 bagian yang sama. Selanjutnya dikenal pulalah kuartil (data dibagi jadi 4 bagian), desil (data dibagi jadi 10 bagian) dan persentil dimana data dibagi menjadi 100 bagian.

Kuartil data Tunggal

Kuartil, data dibagi menjadi 4 bagian. Artinya di sini terdapat 3 pembagi data. Pembagi tersebut disebut dengan Q1, Q2 dan Q3. Perhatikan ilustrasi bagian di bawah ini.

Rumus menentukan kuartil untuk data tunggal adalah:

$\begin{align} \text{Letak } \, Q_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{4}(n+1)\right) \\ \text{ atau } \\ Q_i = X_{\frac{i}{4}(n+1)} \end{align}$
dimana n adalah banyaknya data.

$Q_1$ = Kuartil pertama / kuartil bawah

$Q_2$ = kuartil tengah /kuartil ke-dua = median

$Q_3$ = kuartil atas / kuartil tiga

Sebagai contoh, perhatikan contoh soal dan pembahasan kuartil di bawah ini,
Diberikan data 9, 5, 8, 5, 7, 8, 6, 7, 5, 8, 6, 6, 6, 6, 7, 9, tentukan Kuartil atas, kuartil tengah dan kuartil bawah.

Langkah utama dalam menghitung kuartil ini dan harus anda lakukan adalah mengurutkan data. Cara paling sederhana setelah data terurut (untuk banyak data yang kecil) adalah dengan membagi data tersebut menjadi 2 bagian yang sama banyak kiri dan kanan. Selanjutnya bagian kiri di bagi 2 lagi (Q1) dan bagian kanan dibagi lagi Q3. Perhatikan ilustrasinya berikut ini,

Anda lihat di atas, angka warna merah langkah langkahnya. Langkah 1 saya bagi dua, sehingga berada di Q2 yaitu 6,5. Bagian kiri, lihat langkah 2, dibagi 2 lagi berada di Q1 yaitu 6. Juga sedemikian halnya dengan Q3, untuk bagian kanan.

Jika menggunakan rumus di atas,

$\begin{align} Q_1 & = X_{\frac{1}{4}(n+1)} = X_{\frac{1}{4}(16+1)} = X_{4,25} \\ Q_1 & = x_4 + 0,25(x_5 - x_4) \\ & = 6 + 0,25(6-6) = 6 + 0 = 6 \\ Q_2 & = X_{\frac{2}{4}(n+1)} = X_{\frac{2}{4}(16+1)} = X_{8,5} \\ Q_2 & = x_8 + 0,5(x_9 - x_8) \\ & = 6 + 0,5(7-6) = 6 + 0,5 = 6,5 \\ Q_3 & = X_{\frac{3}{4}(n+1)} = X_{\frac{3}{4}(16+1)} = X_{12,75} \\ Q_3 & = x_{12} + 0,75(x_{13} - x_{12}) \\ & = 8 + 0,75(8-8) = 8 + 0 = 8 \end{align}$

Kuartil Data Kelompok

Langkah menghitung kuartil data Kelompok,

tentukan letak kuartil di kelas mana, $Q_i = \text{data ke-} \frac{i}{4}(n+1)$
Hitung kuartil,

$\begin{align} Q_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{4}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align}$
Keterangan :

$Tb_{i} = \,$ tepi bawah kelas kuartil ke-

$i$

$Fks_i = \,$ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-

$i$

$f_i = \,$ frekuensi kelas kuatril ke-

$i$

$p = \,$ interval kelas

$i =$ Kuartil ke-1, 2, 3

$Rumus interval:$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Contoh Soal dan Pembahasan Kuartil data Kelompok

Dari data pada tabel di bawah ini, Tentukan

$Q_1$ (kuartil bawah),

$Q_2$ (median), dan

$Q_3$ (kuartil atas)!

Penyelesaian:

Letak

$Q_1$ = data ke-

$\left[\frac{1}{4}(n+1) \right]$ = data ke-

$\left[\frac{1}{4}(40+1) \right]$ = data ke-10,25
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif,

$Q_1$ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 60 - 69.
tepi bawah :

$Tb_1 = 60 - 0,5 = 59,5$

$Fks_1 = 4 + 5 = 9$

$f_1 = 14 \, , \,$ dan

$p = 69 - 60 + 1 = 10$

$\begin{align} Q_1 & = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - Fks_1}{f_1} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{4}.40 - 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{10 - 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{1}{14} \right).10 = 59,5 + 0,714 = 60,214 \end{align}$

Letak

$Q_2$ = data ke-

$\left[\frac{2}{4}(n+1) \right]$ = data ke-

$\left[\frac{1}{2}(40+1) \right]$ = data ke-20,5
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif,

$Q_2$ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 60 - 69.
tepi bawah :

$Tb_2 = 60 - 0,5 = 59,5$

$Fks_2 = 4 + 5 = 9$

$f_2 = 14 \, , \,$ dan

$p = 69 - 60 + 1 = 10$

$\begin{align} Q_2 & = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n - Fks_2}{f_2} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 - 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{20 - 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{11}{14} \right).10 = 59,5 + 7,857 = 67,357 \end{align}$

Letak

$Q_3$ = data ke-

$\left[\frac{3}{4}(n+1) \right]$ = data ke-

$\left[\frac{3}{4}(40+1) \right]$ = data ke-30,75
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif,

$Q_3$ terletak pada kelas ke-4 yaitu interval 70 - 79.
tepi bawah :

$Tb_1 = 70 - 0,5 = 69,5$

$Fks_3 = 4 + 5 + 14 = 23$

$f_3 = 10 \, , \,$ dan

$p = 79 - 70 + 1 = 10$

$\begin{align} Q_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - Fks_3}{f_3} \right)p = 69,5 + \left( \frac{\frac{3}{4}.40 - 23}{10} \right).10 \\ & = 69,5 + \left( \frac{30 - 23}{10} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{7}{10} \right).10 = 69,5 + 7 = 76,5 \end{align}$

Jadi,