Bukti Panjang Garis Berat dengan Aturan Cosinus dan Dalil Stewart

martha yunanda geometri

Pembuktian Rumus Garis Berat Segitiga dengan Aturan Cosinus

Jika anda tak paham dalil atau aturan Cosinus silakan baca [ATURAN COSINUS]. Misalkan segitiga ABC seperti gambar di bawah ini.

Panjang

$BD = DC = m = \frac{1}{2}a \,$ dan panjang

$AD = d$ .
Misal sudut

$ABD = D_2 \,$ dan sudut

$ADC = D_1$ .

Sudut

$D_1$ dan

$D_2$ saling berpelurus, jumlahnya

$180^\circ$ .

$D_1 + D_2= 180^\circ \rightarrow D_2 = 180^\circ - x$ .
Sehingga :

$\cos D_2 = \cos (180^\circ - D_1 ) = - \cos D_1$ .

Aturan Cosinus pada segitiga ABD,

$c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos D_2 \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .(-\cos D_1)$

$\rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos D_1 \,$ ...(i).

Aturan Cosinus pada segitiga ACD,

$b^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos D_1 \,$ ...(ii).

*). Eliminasi (i) dan (ii) :

$\begin{array}{cc} c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos D_1 & \\ b^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos D_1 & + \\ \hline b^2 + c^2 = 2d^2 + 2m^2 & \\ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - m^2 & \\ \end{array}$

masukkan nilai

$m = \frac{1}{2}a$ .

$\begin{align} d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - m^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - (\frac{1}{2}a)^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 \end{align}$

Terbukti panjang garis berat

$\, AD = d \,$ adalah

$d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2$

Pembuktian Rumus Garis Berat dengan Dalil Stewart

Masih dari segitiga yang sama. Silakan baca mengenai Dalil Stewart agar lebih paham.

Panjang

$BD = DC = m = \frac{1}{2}a \,$ dan panjang

$AD = d$ .

Dalil Stewart pada segitiga ABC dan substitusi

$m = \frac{1}{2}a$ .

$\begin{align} d^2 . a & = m.b^2 + m.c^2 - m.m.a \\ d^2 . a & = \frac{1}{2}a.b^2 + \frac{1}{2}a.c^2 - \frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a.a \, \, \, \, \text{....(bagi } a ) \\ d^2 & = \frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2 \end{align}$

Terbukti panjang garis berat

$\, AD = d \,$ adalah