Sebuah event fun-run akan di adakan. Masing masing peserta akan diberikan nomor peserta yang terdiri dari 5 digit. 2 digit terakhir akan di isi oleh huruf alphabet. Sementara 3 digit awal akan diisi oleh angka. Berapa banyak kemungkinan seluruh nomor yang bisa dibuat?
Dalam penyelesaian problem seperti di atas maka digunakan aturan perkalian. Secara matematis, aturan perkalian tersebut bisa didefenisikan menjadi:
Jika sebuah prosedur terdiri dari beberapa kejadian dan dimisalkan
$n_1$ kejadian 1
$n_2$ kejadian 2
$n_3$ kejadian 3
....
$n_p$ kejadian p
Maka seluruh kejadian total dalam prosedur tersebut dapat dihitung menjadi
$n_1 \times n_2 \times n_3 \times ... \times n_p$.
Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini:
Soal 1: Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf disambung dengan bilangan bulat positif tidak lebih dari 100. Berapa banyak kursi yang dapat dilabeli secara berbeda?
Jawab: Kursi pada auditorium akan dilabeli dengan ketentuan berbentuk satu huruf disambung dengan bilangan bulat positif tidak lebih dari 100. Banyaknya kejadian pertama untuk melabeli kursi dengan huruf ada 26 sedangkan pada kejadian kedua untuk melabeli kursi dengan angka sebanyak 100 . Sehingga berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara melabeli kursi pada auditorium dengan ketentuan tersebut dapat dilakukan sebanyak 26 × 100 = 2600 cara. Jadi, banyaknya kursi yang dapat dilabeli dengan label yang berbeda ada 2600.
Soal 2: Berapa banyak bit string dengan panjang 7 jika
a) tidak ada aturan pada string tersebut
b) bit string diawali oleh substring 1
c) di akhiri oleh substring 11
Jawab:
Catatan: Bit adalah susunan bilangan dengan angka 0 dan 1 saja.
a) $n_1 =n_2=n_3=n_4=n_5=n_6=n_7=2$ Kenapa dua? Karena setiap posisi bit bisa di isi angka 0 dan 1. Artinya ada dua kemungkinan kejadian di sana. Sehingga sesuai aturan perkalian bisa dihitung:
$n_1 \times n_2 \times n_3 \times ... \times n_p \\ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^7$.
b) bit awal harus di isi angka 1. Jadi, $n_1 = 1$ sementara untuk bit lainnya bebas alias bisa di isi oleh angka 0 dan 1.
$n_2=n_3=n_4=n_5=n_6=n_7=2$
Total = $1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^6$
c) Diakhiri string 11, artinya $n_6 = n_7=1$ Dengan defenisi yang sama akan diperoleh,
$n_1 =n_2=n_3=n_4=n_5=2$
$2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 2^5$
Soal 3: Berapa banyak fungsi dari himpunan dengan m elemen ke himpunan dengan n elemen?
Jawab:
Sebuah fungsi menghubungkan masing - masing elemen m di domain dengan salah satu n elemen di kodomain. Sehingga berdasarkan
aturan perkalian, ada n×n×…×n sebanyak m kali, sehingga bisa ditulis $n^m$ fungsi dari himpunan dengan m elemen ke himpunan dengan n elemen. Sampel, banyaknya fungsi dari himpunan dengan 2 elemen ke himpunan dengan 4 elemen ada = 2x2 x2 x2 = $2^4$= 16
Soal 4: Sebuah perusahaan telekomunikasi menyediakan nomor telepon rumah yang terdiri atas 10 digit dengan format YNNN-XXXXXX dimana Y=0, N=2,...,9 dan X=0,...9. Berapakah banyaknya kemungkinan nomor telepon rumah yang tersedia?
Jawab:
$n_Y$ = 1 \\ n_N =8 \\ n_X=10$
Sehingga totalnya,
1x8x8x8x10x10x10x10x10x10 = $8^3 \times 10^6$
Jadilah Komentator Pertama untuk "Kombinatorika - Aturan Perkalian"
Post a Comment