Rumus Umum Notasi Sigma

martha yunanda baris dan deret, notasi sigma

Sebelumnya telah dipaparkan mengenai pengertian dan dasar dasar notasi sigma. Berikut akan diuraikan mengenai rumus umum dan contoh soal yang berlaku pada notasi sigma.

Sebenarnya ada bentuk rumus umum lain, namun yang paling sering digunakan karena dalam bentuk deret khusus adalah berikut ini,

1.  $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
2.  $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $ 
3.  $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $

Contoh Soal Pengunaan Rumus Umum Notasi Sigma

Tentukan hasil dari :

1. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k $
2. $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 $
3. $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 $

Jawab:

1. $ \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k \, $ , artinya $ n = 2017 $.

$ \begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^{2017} \, k & = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 \\ & = \frac{1}{2}n(n+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2017+1) \\ & = \frac{1}{2} \times 2017 \times (2018) \\ & = 2017 \times (1009) \\ & = 2.035.153 \end{align} $

2. $ \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 \, $ , artinya $ n = 2016 $.

$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{2016} \, i^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2016^2 \\ & = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2016+1) \times (2 \times 2016+1) \\ & = \frac{1}{6} \times 2016 \times (2017) \times (4033) \\ & = 336 \times (2017) \times (4033) \\ & = 2.733.212.496 \end{align} $

3. $ \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 \, $ , artinya $ n = 1991 $.

$ \begin{align} \displaystyle \sum_{i=1}^{1991} \, j^3 & = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 1991^3 \\ & = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1991+1) \right)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2} \times 1991 \times (1992) \right)^2 \\ & = \left( 1991 \times 996 \right)^2 \\ & = \left( 1.983.036 \right)^2 \\ & = 3.932.431.777.296 \end{align} $

Contoh Soal Dari Deret Menjadi Notasi Sigma 

Buatlah Deret Berikut dalam bentuk Notasi Sigma

1.  $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $
2.  $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $
3.  $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $
4.  $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $
5.  $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $
6.  $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $

Jawaban:

NOTE: Untuk menjadi bentuk notasi sigma, harus mengetahui terlebih dulu rumus suku ke-$n$ untuk masing-masing deret.

1. $ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 $

Ini deret aritmatika dengan $ b= 2 \, $ dan $ a = 1 $,

dapat ditulis $ u_n = a + (n-1)b = 1 + (n-1).2 = 2n - 1 $.

$ \begin{align} 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 & = (2.1 - 1) + (2.2 - 1) + (2.3 - 1 ) + ...+(2.8 - 1 ) \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^{8} \, (2i - 1) \end{align} $

2. $ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 $

$ \begin{align} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{6} \, k^2 \end{align} $

3. $ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n $

$ \begin{align} 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2n & = 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + ... + 2n \\ & = \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \,2j \end{align} $

4. $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $

 $ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... $

Perhatikan pembilangnya : $ 1,2,3,4,5, .... \, $ , artinya suku ke-$n$ adalah $ u_n = n $

Perhatikan penyebutnya : $ 1,3,5,7,9, .... \, $ , sama seperti bagian (a) yaitu $ u_n = 2n-1 $

Rumus suku ke-$n $ dari deret ini adalah $ u_n = \frac{n}{2n-1} $.

$ \begin{align} 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... & = \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \frac{5}{9} + ... + \frac{n}{2n-1} \\ & = \frac{1}{2.1- 1} + \frac{2}{2.2-1} + \frac{3}{2.3-1} + \frac{4}{2.4-1} + ... + \frac{n}{2n-1} \\ & = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \frac{k}{2k-1} \end{align} $

5. $ y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} $

$ \begin{align} y_1 + y_2 + y_3 + ... + y_{25} & = \displaystyle \sum_{i=1}^{25} \, y_i \end{align} $

6. $ x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n $

$ \begin{align} & x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + xy^{n-1} + y^n \\ & = x^{n-0}y^0 + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + ... + x^{n-(n-1)} y^{n-1} + x^{n-n}y^n \\ & = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \, x^{n-k}y^k \end{align} $

Lanjutkan Membaca: Sifat Sifat Notasi Sigma.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn