Pembuktian Identitas Trigonometri

martha yunanda geometri

Dihalaman ini akan saya uraikan bagaimana pembuktian identitas trigonometri $sin^2 \theta  + cos ^2 \theta =1$. Tentunya ini identitas tidak asing lagi bagi Anda. Pembuktian rumus ini kita ambil dari pengenalan perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku.

Perhatikan segitiga di bawah ini,

Pada segitiga diatas berlaku,
$sin \theta = \frac {x}{r} \\ cos \theta =\frac {y}{r} $
Akan dibuktikan
$sin^2 \theta +cos^2 \theta=1$
$sin^2 \theta +cos^2 \theta=1 \\ (\frac {x}{r})^2 +(\frac {y}{r})^2 =1 \\ \frac {x^2+y^2}{r^2} =1$
Anda tahu teorema Phytagoras berlaku pada segitiga siku-siku di atas, $x^2+y^2=r^2$
Jadi,
$ \frac {x^2+y^2}{r^2} =1 \\ \frac {r^2}{r^2}=1 \\ 1=1 $

Berikutnya, juga dikenal : $tan \theta = \frac {sin \theta}{cos \theta}$
Buktinya,
$tan \theta = \frac {sin \theta}{cos \theta} \\ tan \theta = \frac { \frac {x}{r}}{\frac {y}{r}} \\ tan \theta = \frac {x}{y} \\ tan \theta = tan \theta$

Dari identitas trigonometri di atas, bisa diturunkan identitas trigonometri lainnya yaitu,
$sin^2 \theta +cos^2 \theta=1$
Bagi dengan $sin^2 \theta$
$sin^2 \theta +cos^2 \theta=1 \\ \frac {sin^2 \theta}{sin^2 \theta} + \frac {cos^2 \theta}{sin^2 \theta} = \frac {1}{sin^2 \theta} \\ 1+(\frac {cos \theta}{sin \theta})^2= (\frac {1}{sin \theta})^2 \\ 1 + cotan ^2 \theta = cosec^2 \theta$

Dan satu lagi,
$sin^2 \theta +cos^2 \theta=1$
Bagi dengan $cos^2 \theta$
$sin^2 \theta +cos^2 \theta=1 \\ \frac {sin^2 \theta}{cos^2 \theta} + \frac {cos^2 \theta}{cos^2 \theta} = \frac {1}{cos^2 \theta} \\ (\frac {sin \theta}{cos^2 \theta})^2+1= (\frac {1}{cos^2 \theta})^2 \\ 1 + tan ^2 \theta = sec^2 \theta$

Itulah beberapa identitas trigonometri yang akan sering anda jumpai beserta pembuktiannya.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn