Contoh Soal dan Pembahasan Mengenai Faktorial

Ilustrasi Faktorial

Pengertian faktorial dalam matematika adalah perkalian bilangan bulat hingga satu. Lazimnya lambang faktorial ini dengan tanda seru. Semisal, 7! = 7x6x5x4x3x2x1.

Bentuk umum dari faktorial : n! = n.(n-1)(n-2)...1= n (n-1)!

Agar memudahkan, Anda bisa perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasan tentang faktorial ini.

Catatan: 0!=1

1. Tentukan Nilai dari : 6!

Jawab : 6! = 6x5x4x3x2x1

2. Nilai dari 3!.4! =...

Jawab: Untuk perkalian, TIDAK BERLAKU 3!.4!= 12!. Dalam penyelesaian ini Anda harus menyelesaikan dengan cara:

3! 4! = 3x2x1x4x3x2x1

$3) \frac {8!.2!}{4!} =...$

Jawab:

$\frac {8!.2!}{4!} = \frac {8x7x6x5x4!x2x1}{4!} \\=8x7x6x5x2x1$

4. Hitunglah nilai dari :

$a) \frac {n!}{(n-2)!}=56 \\ b) \frac {(n+1)!}{n!}=30$

$a) \frac {n!}{(n-2)!}=56 \\ \frac {n.(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=56 \\ n.(n-1)=56 \\ n^2-n=56 \\ n^2-n-56 =0 \\ (n-8)(n+7)=0 \\ n=8 , n=-7$

nilai n yang diambil adalah 8, karena untuk faktorial n adalah bilangan positif.

$b) \frac {(n+1)!}{n!}=30 \\ \frac {(n+1)(n)!}{n!}=30 \\ n+1 = 30 \\ n=29$

5. Hitunglah nilai n dari,

$\frac {(n+1)!}{(n-2)!}= \frac {n!}{(n-4)!}$

Jawab:

$\frac {(n+1)!}{(n-2)!}= \frac {n!}{(n-4)!} \\ \frac {(n+1)n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}= \frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)!} \\ (n+1)=(n-2)(n-3) \\ n+1 = n^2-5n+6 \\ n^2-6n+5 =0 \\ (n-1)(n-5)=0 \\ n=1, n=5$

6. Nilai n dari persamaan di bawah ini adalah..

$\frac {(n+2)!}{(n-1)!}= \frac {(n+1)!}{(n-3)!}$

Jawab:

$\frac {(n+2)!}{(n-1)!}= \frac {(n+1)!}{(n-3)!} \\ \frac {(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}= \frac {(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} \\ (n+2) =(n-2)(n-1) \\ n+2=n^2-3n+2 \\n^2-4n =0 \\ n(n-4)=0 \\ n=4, n=0$

7. Buktikan :

$a) \frac {7!}{2!5!}+\frac {7!}{3!4!}= \frac {8!}{3!5!}$

$\frac {7!}{2!5!} .\frac {8}{3}.\frac {3}{8}+\frac {7!}{3!4!} .\frac{8}{5}.\frac {5}{8}= \frac {8!}{3!5!} \\ \frac {8!}{3!5!} .\frac {3}{8}+\frac {8!}{3!5!}.\frac {5}{8}= \frac {8!}{3!5!}\\ \frac {8!}{3!5!} \left( \frac {3}{8} +\frac {5}{8} \right)=\frac {8!}{3!5!} \\ \frac {8!}{3!5!}.1 =\frac {8!}{3!5!} \\ \frac {8!}{3!5!}=\frac {8!}{3!5!}$

Pada langkah pertama agar menemukan 8! maka 7! kita kalikan 8 dan pada pembilang kita butuh 3! sehingga bagian 2! kita kalikan 3. Artinya kita mengalikan 8/3 seharusnya, agar tak merubah nilai maka kita kalikan dengan inversnya yakni 3/8. Hal yang sama dilakukan pada bagian kedua.

Pada langkah kedua bagian faktorial di kiri di faktorkan sehingga terdapa penjumlahan 3/8 dan 5/8. Dari sini kita akan dapatkan 1.

Untuk latihan silahkan dicoba membuktikan,