Pengertian Vektor Kombinasi Linear, Bebas Linear dan Bergantung Linear

martha yunanda Ilmu, vektor

Dalam belajar vektor, nantinya akan ditemukan istilah kombinasi linear, bebas linear dan bergantung linear. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai defenisi, teorema, contoh soal dan pembahasan vektor yang kombinasi linear, bebas linear dan bergantung linear.

Kombinasi Linear

Defenisi Kombinasi Linear adalah sebuah vektor $\vec{a}$ adalah kombinasi linear dari vektor $ \vec {u_1},\vec {u_2},\vec {u_3},..., \vec {u_n}$ maka vektor $\vec{a}$ bisa dinyatakan dalam bentuk
$$\vec{a} = k_1\vec {u_1}+ k_2 \vec {u_2}+ k_3 \vec {u_3} +...+ k_n \vec {u_n}$.

Untuk kombinasi linear ini berlaku sebuah teorema kombinasi linear yaitu:

Himpunan seluruh kombinasi linear dari sebarang himpunan vektor lain yang tak kosong dari sebuah vektor merupakan sebuah ruang dari vektor itu sendiri. Maksudnya, dari vektor a di atas, maka pembentuk kombinasis linear (u) adalah bagian ruang dari a.

Contoh Soal dan Pembahasan Vektor Kombinasi Linear:
Diketahui:
$\vec {a}=(2,0,-4) \\ \vec {n}=(2,1,-4) \\ \vec {u} = (4,3,-12)$
Apakah vektor $\vec {u}$ merupakan kombinasi linear dari vektor $\vec {a}$ adn $\vec {n}$?

Jawab:
Pertama kita bentuk sesuai dengan defenisi kombinas linear dimana terdapat bilangan konstan yang bersesuaian sehingga:
$\vec {u} = k_1 \vec {a} + k_2 \vec {n}$. Kita bisa menuliskannya,
$(4,3,-12) = k_1 (2,0,4)+k_2(2,1,-4) \\ 4 = 2k_1+2k_2 =4 \\ 3 = 0.k_1 +1.k_1 $

Dari persamaan diatas bisa diselesaikan dengan metode subtitusi, eliminasi sehingga bisa kita peroleh $k_1 =-1$ dan $k_2=3$. Sekarang kita buktika pada elemen vektor yang ketiga, apakah hal ini berlaku atau tidak.
$-12=k_1.4+k_2.-4 \\ -12= -1.4+3.-4 \\ -12=-12$
Karena juga berlaku untuk elemen vektor yang ketiga, maka bisa dikatakan vektor $ \vec {a} , \vec{n}, vec {u}$ merupakan kombinasi linear.

Vektor Membangun atau Merentang, vekto dikatakan merentang atau membangun bila memenuhi kombinasi linear.

Vektor Bebas Linear dan Vektor Bergantung Linear

Defenisi vektor bebas linear adalah bila sesuai kombinasi linear di atas ditemukan nilai semua konstanta $(k_1, k_2,k_3...,k_n)$ adalah nol (semua nilaik harus 0)

Defenisi vektorTak bergantung linear adalah bila di uji dengan kombinasi linear di atas ditemukan nilai konstanta yang memenuhi tak nol. Sekarang coba perhatikan contoh tentang vektor kombinasi linear di atas, karena kita mendapatka nilai konstanta $ k_1 =-1 , k_2= 3$ artinya ini bergantung linear, karena nilai k tidak nol.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn