 |
| Teori Grup Merupakan Aljabar Abstrak |
Sejarah Perkembangan Teori Grup
Awal dari teori grup ini berasal dari ulah Evariste Galois pada tahun 1830. Permasalahan persamaan aljabar terpecahkan dengan ‘aneh’. Sebelmnya Galois sendiri Galois mendalami grup secara konkret dalam bentuk permutasi. Dalam sekian masalah teori grup ini, teori grup abelian (yang ditemukan Abel) yang mencakup bentuk bentuk kuadrat. Dalam teori Galois, yang nota benenya awal dari teori grup dijelaskan bawasanya dengan penggunaan grup sebuah gambar persamaan maka akan dapat dicari solusinya dengan persamaan suku banyak.Makanya dalam hal ini dinamakan teori grup. Sebuah permasalahan pertama cara membuat sebuah persamaan pangkat m dan memiliki akar m sama dengan akar dari persamaan berpangkat n. Dalam hal ini Hudde dan Saunderson memberikan penjelasa bahwasanya faktor pangkat dua dari sebuah pernyataan bikuadratik akan menghasilkan sebuah persamaan sektik. Pernyataan Hudder da Saunderson ini yang selanjutnya di seliediki oleh Le Soeur dan Waring pada tahun 1762 hingga 1782.
Dasar utama dalam persamaan dasar ini adalah permutasi grup yang dikemukanan oleh Lagrange. Berdasarkan hal terebut maka diperoleh rumusan teori subtitusi. Lagrange menemukan seluruh penyelesaian yang dia temukan merupakan akar rasional dari persamaan yang terkait. Dalam mempelajari sifat dari fungsi tersebut maka Lagrange menerbitka Calul des Combinaisons.
Karya dari Vandermonde pada tahun 1770 bepengaruh pada perkembanga teori selanjutnya.
Sementara itu Ruffini berupaya membuktikan untuk mencari penyelesaian persamaan pangkat lima dan persamaan lain dengan pangkat yang lebih tinggi. Kembali pada Ruffini, mengkategorikan secara intransitif dan transitif serta grup imprimitif dan grup primitif. Dengan memakai grup tersebut dari sebuah persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Kembali pada teorema Galois, Galois menemukan r1, r2 hingga rn adalah akar akarn dari sebuah pesamaan. Maka untuk suatu grup permutasi dari r. Dengan cara subtitusi diperoleh Setiap akar bersifat invariabel dan rasional. Kontradiktif dengan hal tersebut, setiap fungsi dapat ditentukan akarnya secara rasional dengan cara subtitusi memiliki sifat invarian. Di samping itu Galois juga mempopulerkan teori persamaan modular dan fungsi eliptik.
Pada tahun 1882 von Dyck merumuskan secara modern tentang definisi suatu grup. Pembahasan tentang grup Lie dan subgrup diskrit sebagai grup transformasi. Perumusan tersebut telah dimulai oleh Sophus Lie dan diikuti oleh Schur dan Murer. Selanjutnya teori diskontinu atau grup diskrit sendiri digagas oleh Felix Klein, Poincare serta Picard. Beberapa ahli lain juga meneliti hal ini diantaranya Emil Artin, Emmy Noether da Sylow. Cakupan dalam struktut aljabar abstrak seperti Ring, Medan dan modulus dikelompokkan dalam pembahasan grup Abelian. Sementara itu James Newman mengungkap teori grup merupakan sebuah topik matematika dimana sebuah sabjek melakukan sesuatu dan membandingkan hasilnya dengan perlakuan yang sama dari objek yan berbeda, atau bisa juga dilakukan sebuah perlakuan yang berbeda pada objek yang sama. Baca : Biografi Augustin Louis Cauchy.
Ilustrasi Teori Grup
Sebuah ilustrasi dari grup abelian Sebuah grup abelian : bilangan bulat terhadap penjumlahan, Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan.Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup. Bukti : Ø Bila “a” dan “b” merupakan bilangan bulat maka “a” + “b” juga merupakan bilangan bulat. Ø Bila “a”, “ b”, dan “c” adalah bilangan bulat maka (“a” + “b”) + “c” = “ a” + (“b”+”c”) (sifat asosiatif) Ø 0 adalah bilangan bulat dan untuk setiap bilangan bulat “a”, 0 +” a” = “a”. (elemen identitas) Ø Bila “a” sebuah bilangan bulat maka terdapat bilangan bulat “b” = -“a” sedemikian sehingga “a” + “b” = “b” +” “a = 0 (elemen invers). Grup ini juga merupakan abelian : “a” +” b” = “b” + “a”. Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar cincin yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut “grup penjumlahan” dari cincin.