Karya besar dari LEJ Brouwer adalah tentang teori tentang topoogi. Teori ini dipelajari oleh Brouwer dan dikembangkannya dari tahun 1909 sampai pada tahun 1913. LEJ Brouwer mendapatkan sebuah karakteristik dari pemetaan topologi dari bidang Cartesius. Brouwer juga memperkenalkan teori dalam hal teori bilangan. Teori yang ditemukan Brouwer ini kelak dikenal dengan teorema bilangan pada titik khusus (number of fixed point theorems).
 |
| LEJ Brouwer |
Karya Brouwer
Brouwer pernah memiliki konflik pemikiran dengan David Hilbert. Selain dengan Hilbert, Brouwer juga pernah menentang aliran logika yang diperkenalkan William Betrand Russell. Baca : Biografi Bertrand Arthur William Russell.. Konflik antara Hilbert dan Brouwer dikarenakan keinginan Hilbert yang ingin mencegah pemikiran matematika Brouwer berkembang. Akhirnya Brouwer dipecat dari tempat dia bekerja atas desakan Hilbert.
Pada tahun 1905, Brouwer sempat menulis sebuah buku yang berjudul Life , Art ang Mysticism. Alih alih buku ini berisi tentang pembuktian atau pemngembangan matematika tingkat dasar, sebaliknya buku ini menjelaskan bagaimana cara cara untuk melakukan sebuah pengembangan matematika dasar. Buku tersebut dikerjakan bersamaan dengan tesis doktoralnya pada tahun 1906, Inti buku ini juga terlampir di dalam proyek disertasi tesis doktoralnya tersebut.
Dalam karya karya nya Brouwer banyak membantah pembuktikan "prinsip tidak terangkum di tengah" (Principle of the Excluded Middle disingkat PEM) yang biasanya pada akhirnya ditemukan sebuah nilai pernyataan akhir benar atau salah. Pada tahun 1918 Brouwer mempublikasikan teori himpunan (set theory), dan mempulikasikan teori pengukuran (measure theory) pada tahun berikutnya. Di tahun 1923 Brouwer juga mengelaurkan teori fungsi yang pembuktiannya dilakukan tanpa dengan pendekatan PEM.
Bagi Brouwer, logika adalah sebuah pembelajaran dalam pola pola tertentu untuk mencapai kegiatan matematika dalam penemuan fakta dengan bukti yang jelas. Artinya disini logika akan bergantung pada matematika, bukan matematika yan bergantung pada logika. Hal inilah yang nantinya digunakan sebagai bahan menimbang serta memecah antara matematika dan hal yang menjadi matematika. Dengan pendapat inilah terjadi perseteruan dengan Hilbert, Hilbert tidak ingin prinsip seperti ini berkembang dalam matematika.
Atas dasar prinsip Brouwer di atas, Brouwer mencoba melakukan pembaharuan terhadap teori himpunan Cantor. Usaha yang dilakukan Brouwer untuk memilah klasifikasi bilangan sekunger (bilangan tak hingga) dan bilangan tak hingga yang lebih besar. Namun Brouwer gagal dalam hal ini, karena cara yang dilakukannya tidak bisa digunakan untuk bilangan yang besar. Jika digunakan mka akan menghasilkan bilangan yang tak hingga sehingga penyelesaian yang didapat berupa penyelesaian terbuka.
Apakah semua bilangan Riil mempunyai desimal (di belakang koma) yang jika diteruskan makin panjang (ekspansi)? Brouwer menjawab tidak. Alasan tentang hal ini ditulis pada sebuah paper yang ditulisnya pada tahun 1921. Brouwer membuktikan bahwa seseorang dapat membuat kontruksi terhadap sebuah pilihan atas deret yang memenuhi kondisi Cauchy. Bentuk suatu perkembangan tertentu hanya tergantung kepada masalah yang akan diselesaikan. Jadi tak ada ekspansi desimal yang bisa ditetapkan sampai permasalahan tersebut benar benar selesai Baca : Biografi Luitzen Egbertus Jan Brouwer.
Pada tahun 1905, Brouwer sempat menulis sebuah buku yang berjudul Life , Art ang Mysticism. Alih alih buku ini berisi tentang pembuktian atau pemngembangan matematika tingkat dasar, sebaliknya buku ini menjelaskan bagaimana cara cara untuk melakukan sebuah pengembangan matematika dasar. Buku tersebut dikerjakan bersamaan dengan tesis doktoralnya pada tahun 1906, Inti buku ini juga terlampir di dalam proyek disertasi tesis doktoralnya tersebut.
Dalam karya karya nya Brouwer banyak membantah pembuktikan "prinsip tidak terangkum di tengah" (Principle of the Excluded Middle disingkat PEM) yang biasanya pada akhirnya ditemukan sebuah nilai pernyataan akhir benar atau salah. Pada tahun 1918 Brouwer mempublikasikan teori himpunan (set theory), dan mempulikasikan teori pengukuran (measure theory) pada tahun berikutnya. Di tahun 1923 Brouwer juga mengelaurkan teori fungsi yang pembuktiannya dilakukan tanpa dengan pendekatan PEM.
Melawan teori Himpunan Cantor
Dalam prinsip hidupnya, Brouwer berpendapat bahwa matematika adalah sebuah kegiatan yang harus banyak diperbincangkan. Pembicaraan hanya akan berlangsung tentang kegiatan tersebut jika telah ditemukan fakta dan pembuktian. Dengan prinsip tersebut artinya Brouwe tidak terlalu simpatik dengan metode aksiomatik (metode aksiomatik adalah sebuah metode yang menerapkan sebuah pernyataan tersebut pasti benar tanpa harus ada pembuktian). Metode aksiomatik ini tentu sangat bertentangan denagn prinsipnya, segala sesuatu harus ada fakta dan pembuktiannya.Bagi Brouwer, logika adalah sebuah pembelajaran dalam pola pola tertentu untuk mencapai kegiatan matematika dalam penemuan fakta dengan bukti yang jelas. Artinya disini logika akan bergantung pada matematika, bukan matematika yan bergantung pada logika. Hal inilah yang nantinya digunakan sebagai bahan menimbang serta memecah antara matematika dan hal yang menjadi matematika. Dengan pendapat inilah terjadi perseteruan dengan Hilbert, Hilbert tidak ingin prinsip seperti ini berkembang dalam matematika.
Atas dasar prinsip Brouwer di atas, Brouwer mencoba melakukan pembaharuan terhadap teori himpunan Cantor. Usaha yang dilakukan Brouwer untuk memilah klasifikasi bilangan sekunger (bilangan tak hingga) dan bilangan tak hingga yang lebih besar. Namun Brouwer gagal dalam hal ini, karena cara yang dilakukannya tidak bisa digunakan untuk bilangan yang besar. Jika digunakan mka akan menghasilkan bilangan yang tak hingga sehingga penyelesaian yang didapat berupa penyelesaian terbuka.
Apakah semua bilangan Riil mempunyai desimal (di belakang koma) yang jika diteruskan makin panjang (ekspansi)? Brouwer menjawab tidak. Alasan tentang hal ini ditulis pada sebuah paper yang ditulisnya pada tahun 1921. Brouwer membuktikan bahwa seseorang dapat membuat kontruksi terhadap sebuah pilihan atas deret yang memenuhi kondisi Cauchy. Bentuk suatu perkembangan tertentu hanya tergantung kepada masalah yang akan diselesaikan. Jadi tak ada ekspansi desimal yang bisa ditetapkan sampai permasalahan tersebut benar benar selesai Baca : Biografi Luitzen Egbertus Jan Brouwer.