Contoh Aplikasi Eksponen: Peluruhan

martha yunanda Eksponen

Pengertian peluruhan adalah perubahan jumlah sebuah materi yang menurun dari waktu ke waktu. Secara bahasa, dalam KBBI, kamus besar bahasa Indonesia arti kata peluruhan adalah proses, cara, perbuatan meluruhkan atau menggugurkan. Mungkin yang mendekati pengertian dalam matematika ini adalah menggugurkan.

Prinsipnya, perhitungan peluruhan dalam matematika mengunakan pola barisan dan deret. Misalkan dalam periode waktu tertentu sebuah materi akan meluruh i% , jika materi awal dimisalkan $A_o$ maka dalam n periode akan menjadi,

pada tahun pertama ($A_1$):

$A_1 = A_0 - i \times A_0 = A_0(1 - i)$

pada tahun kedua ($A_2$):

$A_2 = A_1 - i \times A_1 = A_1(1 - i) = A_0(1 - i)(1-i) = A_0(1-i)^2$

pada tahun ke-3 ($A_3$):

$A_3 = A_2 - i \times A_2 = A_2(1 - i) = A_0(1 - i)^2(1-i) = A_0(1-i)^3$

hingga

pada tahun ke-$n$ ($A_n$):

$A_n = A_{n-1} - i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 - i) = A_0(1 - i)^{n-1}(1-i) = A_0(1-i)^n$

Sebagai pola awal, yang di atas semua mirip dengan barisan geometri bukan?

Rumus Peluruhan 

Sebuah materi jumlahnya pada tahun ke n akan menjadi:

$A_n = A_0(1-i)^n$ (jika diketahui persentase)

atau

$A_n = A_0(r)^n$  (jika diketahui kelipatan/rasio)

Keterangan rumus di atas:

$A_0 = \,$ jumlah materi awal

$A_n = \,$ jumlah materi pada periode ke-$n$

$i = \,$ persentase penurunan/peluruhan

$r = \,$ kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)

Coba perhatikan, beberapa contoh soal di bawah ini,

Contoh Soal dan Pembahasan Peluruhan

Soal 1:

Bahan radioaktif yang berukuran 100 gr mengalami reaksi kimia. Terjadi penyusutan 10% setiap 12 jam. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari?

Pembahasan:

Diketahui : $A_0 = 100 \,$ 

 $i = 10\% = 0,1$

Selama 2 hari = 48 jam artinya terjadi 4 kali peluruhan.

atau $n = \frac{48}{12} = 4$.

Bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari ($A_{4}$) :

$\begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_4 & = 100 \times (1-0,1)^4 \\ & = 100 \times (0,9 )^4 \\ & = 100 \times (0,6561) \\ & = 65,61  gr \end{align}$

Soal 2

Industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2010 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Seiring berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% per-tahun. Tentukan

a. Harga mesin pada tahun ke-2012.

b. Harga mesin pada tahun ke-2018.

Pembahasan:

Diketahui : $A_0 = 100.000.000$ 

$i = 1\% = 0,01$

Harga mesin pada tahun 2012 :

Tahun 2012 artinya dua tahun setelah tahun 2010, maka $n = 2$

 $n = 2012 - 2010 = 2$

harga mesin tahun 2014 = $A_2$

$\begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_2 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^2 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^2 \\ & = 100.000.000 \times ( 0,9801) \\ & = 98.010.000 \end{align}$

Harga mesin pada tahun 2018:

Tahun 2018 artinya 8 tahun setelah tahun 2010,

atau $n = 2018 - 2010 = 8$

harga mesin tahun 2018 = $A_8$

$\begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_8 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^8 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^8 \\ & = 100.000.000 \times ( 0, 922744694) \\ & = 92.274.469,40 \end{align}$

Soal 3:

Seekor sapi dideteksi terinveksi virus yang mematikan. Setelah diperiksa, ternyata terdapat 1000 virus dalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh 1/3 dari virus yang ada tiap 2 jam. Berapakah sisa virus setelah 8 jam?

Pembahasan:

Diketahui : $A_0 = 1000 \,$ dan $r = \frac{1}{3}$

 $n = \frac{8}{2} = 4$.

Sisa virus setelah 8 jam ($A_{4}$) :

$\begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_4 & = 1000 \times (\frac{1}{3})^4 \\ & = 1000 \times \frac{1}{81} \\ & = 12,345679012 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align}$

Sisa virus setelah 8 jam adalah 13 virus

Soal 4:

Seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosa bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Berikutnya diberikan penisilin yang dapat membunuh 5% bakteri tiap 4 jam. Berapakan banyak bakteri setelah 12 jam!

Penyelesaian :

Diketahui : $A_0 = 1.000.000 \,$ dan $i = 5\% = 0,05$

Selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan.

atau $n = \frac{12}{4} = 3$.

Bakteri setelah 12 jam ($A_{3}$) :

$\begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_3 & = 1.000.000 \times (1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000 \times (0,95)^3 \\ & = 1 .000.000 \times ( 0, 857375) \\ & = 857.375 \end{align}$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn