f′(x)=0titikstasioner
f′(x)<0fungsiturun
f′(x)>0fungsinaik
Untuk nilai maksimum/minimum seperti berikut,
Contoh Soal dan Pembahasan:
Soal 1. Fungsi f(x)=x4−2x2 merupakan fungsi naik pada interval...Pembahasan:
Syarat fungsi naik f'(x)>0, maka
f(x)=x4−2x2f′(x)=4x3−4x>04x(x−1)(x+1)>0x=−1x=0x=1
Kemudian buat garis bilangan untuk menentukan daerah f'(x)>0 seperti berikut,
Terlihat dari pengujian di atas, fungsi naik pada interval -1<x<0 atau x>1.
Soal 2. Grafik f(x)=x3−2x2+1 pada daerah asal domain 0≤x≤2 memiliki ciri...
Pembahasan:
Hampir sama dengan soal di atas, akan dicari pembagian daerah naik-turun.
f(x)=x3−2x2+1f′(x)=3x2−4x=0x(3x−4)=0x=0x=43
Kemudian diujikan pada sebuah garis bilangan.
Bisa dilihat pada gambar di atas setelah dilakukan pengujian daerah dimana pada interval [0,2] atau bagian yang di beri warna abu-abu grafik turun-kemudian naik. Jadi sifat grafik pada interval tersebut turun -naik.
Soal 3. Titik balik maksimum grafik y=x3−6x2+9x+4 adalah...
Pembahasan:
Masih dengan langkah yang sama,
y=x3−6x2+9x+4y′=3x2−12x+9=0(x−1)(x−3)=0x=1x=3
Yang diminta nilai max, terlihat jelas nilai maksimum terjadi saat x=1. Dimana nilai tersebut = f(1) =y=13−6.12+9.1+4=8
Artinya titik maksimum tersebut (x,y)=(1,8).
Soal 4. Jika fungsi f(x)=x4−2x2+ax+a memiliki nilai minimum b saat x=1. Maka nilai a+b adalah...
Pembahasan
Nilai minimun x=1 adalah b maka
f(1)=bf(1)=14−2.12+a.1+a=02a−b=1
Sementara itu
f(x)=x4−2x2+ax+af′(x)=4x3−4x+a=0salah satu titik stasioner x=1f′(1)=4.13−4.1+a=0a=0
Kembali ke persamaan 2a-b=1, karena a=0 maka -b=1 dan b=1.
Soal 5. Misalkan f(x)=3x4−4x3+2. Jika nilai Minimum dan maksimum pada selang −2≤x≤2berturutturutmdanM.Makanilaim+M=...Pembahasan:f(x)=3x^4-4x^3+2 \\ f'(x) = 12x^3-12x^2 =0 \\ 12x^2 (x-1) =0 \\ x=1 \, \, x=1$
Karena diberikan interval, maka ujung interval/selang juga turut diuji untuk menentukan nilai maks/min bersama dengan x, stasioner. Silakan diuji
f(-2) , f(0) , f(1) dan f(2). Dimana masing masing akan didapat berturut turut 82. 2, 1 dan 34. Terlihat nilai maksimum 82 dan nilai minimum 1. Akibatnya M= 82 dan m=1 sehingga M+m=83.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal Stasioner, Fungsi Naik-Turun, Nilai Maksimum-Minimum"
Post a Comment