Contoh Soal Stasioner, Fungsi Naik-Turun, Nilai Maksimum-Minimum

martha yunanda contoh soal, fungsi, turunan

Sebagai pengantar awal kembali diingatkan materi dan rumus mengenai titik stasioner, kapan fungsi naik dan kapan fungsi turun serta nilai minimum dan nilai maksimum. Kaidah yang digunakan seperti di bawah ini,
$f'(x) =0 \, \, \, titik stasioner$
$f'(x) <0 \, \, \, fungsi turun$
$f'(x)>0 \, \, \, fungsi naik$
Untuk nilai maksimum/minimum seperti berikut,

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1. Fungsi $f(x)=x^4-2x^2$ merupakan fungsi naik pada interval...

Pembahasan:
Syarat fungsi naik f'(x)>0, maka
$f(x)=x^4-2x^2 \\ f'(x) = 4x^3-4x > 0 \\ 4x(x-1)(x+1) >0  \\ x=-1 \, \, x=0 \, \, x=1$
Kemudian buat garis bilangan untuk menentukan daerah f'(x)>0 seperti berikut,

Terlihat dari pengujian di atas, fungsi naik pada interval -1<x<0 atau x>1.

Soal 2. Grafik $f(x)=x^3-2x^2+1$ pada daerah asal domain $ 0 \leq x \leq 2$ memiliki ciri...

Pembahasan:
Hampir sama dengan soal di atas, akan dicari pembagian daerah naik-turun.
$f(x)=x^3-2x^2+1 \\ f'(x) = 3x^2 -4x =0 \\ x (3x-4)=0 \\ x=0 \, \, x= \frac {4}{3}$
Kemudian diujikan pada sebuah garis bilangan.

Bisa dilihat pada gambar di atas setelah dilakukan pengujian daerah dimana pada interval [0,2] atau bagian yang di beri warna abu-abu grafik turun-kemudian naik. Jadi sifat grafik pada interval tersebut turun -naik.


Soal 3. Titik balik maksimum  grafik $y=x^3-6x^2+9x+4$ adalah...

Pembahasan:
Masih dengan langkah yang sama,
$y=x^3-6x^2+9x+4  \\ y' = 3x^2-12x+9 = 0 \\ (x-1) (x-3) =0 \\ x=1 \, \, x=3$

Yang diminta nilai max, terlihat jelas nilai maksimum terjadi saat x=1. Dimana nilai tersebut = f(1) =$y=1^3-6.1^2+9.1+4=8$
Artinya titik maksimum tersebut (x,y)=(1,8).

Soal 4. Jika fungsi $f(x) = x^4-2x^2+ax+a$ memiliki nilai minimum b saat x=1. Maka nilai a+b adalah...

Pembahasan
Nilai minimun x=1 adalah b maka
$ f(1) = b \\ f(1) = 1^4-2.1^2+a.1+a  =0 \\ 2a-b=1$

Sementara itu
$f(x) = x^4-2x^2+ax+a \\ f'(x) =4x^3-4x+a = 0  \\ \text {salah satu titik stasioner x=1} \\ f'(1) =4.1^3-4.1+a = 0 \\a =0 $

Kembali ke persamaan 2a-b=1, karena a=0 maka -b=1 dan b=1.

Soal 5. Misalkan $f(x)=3x^4-4x^3+2$. Jika nilai Minimum dan maksimum pada selang $ -2 \leq x \leq 2 berturut turut m dan M. Maka nilai m+M=...

Pembahasan:
$f(x)=3x^4-4x^3+2 \\ f'(x) = 12x^3-12x^2 =0 \\ 12x^2 (x-1) =0 \\ x=1 \, \, x=1$
Karena diberikan interval, maka ujung interval/selang juga turut diuji untuk menentukan nilai maks/min bersama dengan x, stasioner. Silakan diuji
f(-2) , f(0) , f(1) dan f(2). Dimana masing masing  akan didapat berturut turut 82. 2, 1 dan 34. Terlihat nilai maksimum 82 dan nilai minimum 1. Akibatnya M= 82 dan m=1 sehingga M+m=83.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn