Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Trigonometri

martha yunanda Ilmu, trigonometri

Pertidaksamaan trigonometri adalah pertaksamaan yang memiliki trigonometri berupa sinus, cosinus dan tangen serta kebalikannya. Sebagaimana kita ketahui bahwasanya pertidaksamaan akan memuat tanda penghubung berupa $>, \, \geq , \, \leq, \,$ dan $< \,$.

Untuk mencari solusi atau menyelesaikan pertidak samaan trigonometri ini pastikan anda telah benar-benar paham tentang persamaan trigonometri. Adapun langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sebagai berikut,

1. Asumsikan fungsi tersebut dalam bentuk persamaan. Anda temukan pembuat nol atau solusi persamaan tersebut.
2. Gambarkan garis bilangan dan lakukan pengujian daerah.
3. Defenisikan daerah himpunan penyelesaian.

Untuk memudahkan, bagaimana langkah dan cara menyelesaikan pertaksamaan trigonometri di atas, maka ikutilah contoh soal dan pembahasan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri di bawah ini.

#Soal 1. Daerah himpunan penyelesaian dari $2\sin x \leq 1 \,$ untuk interval $0 \leq x \leq 360^\circ$ 

Pembahasan:

Langkah 1. Kita akan cari pembuat nol dari fungsi tersebut. Bisa ditulis sebagai berikut,

 $2\sin x  \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x  \leq \frac{1}{2} \\ \sin x  = \frac{1}{2} \\ x  = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ \}$

Langkah 2. Kita akan bentuk garis bilangan dan menguji beberapa titik,

Perhatikan tanda negatif dan positif dari masing masing interval. Ini saya dapatkan dari,
$2\sin x  \leq 1 \\ Daerah \, I \rightarrow x=15^o \\ 2 \sin 15^0 \leq 1  \\ 0,5 \leq 1 (benar) \\ Daerah II \,  \rightarrow x= 90^0 \\ 2\sin 90^0 \leq 1 \\ 2 \leq 1 (salah) \\ daerah\, III \rightarrow  270^0 \\ 2\sin 270^0 \leq 1 \\ -2 \leq 1 (benar)$
Saya ambil masing masing 15 derajat untuk daerah I, 90 derajat untuk daerah 2 dan 270 derajat pada daerah III. Kemudian saya uji pada persamaan. Unntuk daerah yang benar atau memenuhi persamaan saya arsir.

Langkah 3.
Jadi daerah penyelesaian yang benar adalah: $HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \cup 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \}$

#Soal 2. Tentukanlah daerah penyelesain untuk  $2\cos ^2 x < 3\sin x + 3 \,$ pada interval $0 \leq x \leq 2\pi \,$

Pembahasan:
Langkah 1. Menentukan pembuat nol, tetapi pertama kita ubah dulu fungsi menjadi satu jenis trigonometri.
$2\cos ^2 x <3\sin x + 3 \ \\ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \\ 2\cos ^2 x  < 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x )  < 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x  < 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1  > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1  = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1)  = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1)  = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x  = -1$
Titik Penyelesaian persamaan:
$\sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} \\  x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \\  x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} \\ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$

Langkah 2. Membuat Garis Bilangan dan Uji daerah
Saya akan buat daerah di atas dalam garis bilangan

Disana terdapat 4 daerah. Saya ambil titik uji pada daerah I $\frac {1}{6} \pi$ , pada daerah II $\frac {8}{6} \pi$ dan daerah III $\frac {10}{6} \pi$ dan daerah IV $\frac {23}{24} \pi$. Diujikan pada persamaan, dan didapat daerah yang benar adalah daerah I dan III.

Langkah 3. Daerah Penyelesaian.
$HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \}$

Biasanya pada pengujian, anda cukup menguji 2 daerah yang berdekatan. Biasanya daerah penyelesaian tersebut selang seling. Maksudnya jika daerah Penyelesaian yang benar I maka pasangannya daerah III, V. Atau jika yang benar daerah II maka pasangannya IV dan VI.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn