Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral

martha yunanda integral

Salah satu bentuk aplikasi atau penggunaan integral adalah menghitung luas daerah yang dibatasi oleh sebuah kurva. Untuk menggunakan atau menghitung luas integral di bawah kurva ini tentunya anda harus bisa menggambarkan grafik dari fungsi yang ada. Bentuk fungsi tersebut tentunya bisa berbagai macam nantinya.

Adapun dalam menghitung luas daerah area di bawah kurva bisa dipandang menjadi 2 macam. Kita bisa menghitung dengan patokan batas sumbu x, juga bisa dengan mengambil batas sumbu y. Pastikan anda telah memahami bagaimana cara menyelesaikan atau menghitung integral tentu. Jika belum silakan baca Integral Tertentu dan Contoh Soal

Luas Daerah Kurva dengan Integral (Sumbu x)

Perhatikan dua gambar fungsi f(x) dan g(x) di bawah ini,

Untuk daerah R berada di atas sumbu x dengan fungsi f(x). Area tersebut dibatasi oleh interval [a,b]. Untuk menghitungnya bisa digunakan:

Luas R $ \, = \int \limits_a^b f(x) dx $

Untuk daerah S berada di bawa sumbu x dengan fungsi g(x). Area tersebut dibatasi pada interval [c,d]. Untuk menghitungnya bisa digunakan:

Luas S $ \, = - \int \limits_c^d g(x) dx $

Contoh Soal Luas Daerah dengan Integral

Soal 1. Hitung Luas area yang dibatasi kurva $ y = 4x - x^2, x = 1, x = 3$

Pembahasan:

Pertama, silakan digambar grafik tersebut. Jika digambarkan terlihat seperti berikut.

Terlihat bahwasanya interval berada pada selang [1,3] sehingga dapat dihitung luas daerahnya dengan integral sebagai berikut,

$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^3 f(x) dx \\ & = \int \limits_1^3 (4x - x^2) dx \\ & = [2x^2 - \frac{1}{3}x^3]_1^3 \\ & = [2.3^2 - \frac{1}{3}.3^3] - [2.1^2 - \frac{1}{3}.1^3] \\ & = [18 - 9] - [2 - \frac{1}{3} ] \\ & = 7\frac{1}{3} \end{align} $

Soal 2. Tentukan Luas daerah dari gambar di bawah ini,

Pembahasan:

Untuk area berwarna merah berada di atas sumbu x sementara daerah biru di bawah sumbu x. Maka Luasnya

$L_1 = \int \limits_0^1 ( x^2 - 5x + 4) dx \\ L_2 =- \int \limits_1^4 ( x^2 - 5x + 4) dx$

Sehingga luas total ( $L_1 + L_2$)jika anda hitung dengan benar akan diperoleh, $ 6\frac{1}{3}$

Soal 3. Hitunglah luas daerah kurva $ f(x) = - sin x , \, 0 \leq x \leq 2\pi $ dengan sumbu x.

Pembahasan:

Dengan langkah awal yang sama, yakni silakan dibuat gambar grafik terlebih dahulu. Anda akan dapat gambar grafik seperti berikut,

Prinsipnya di sini karena daerah ada yang berada di bawah sumbu x (hijau) dan ada yang berada di atas sumbu x (kuning), maka anda harus cari masing masingnya.

$A_{kuning} = \int \limits_\pi^{2\pi} ( -\sin x) dx =2 \\ A_{hijau} =- \int \limits_0^\pi (-\sin x) dx =2 \\ A_{kuning}+A_{hijau} = 2+2 =4$

Bentuk di atas daerah yang terdiri dari 1 kurva dan sumbu x saja. Lalu bagaimana jika terdapat 2 kurva?

Luas daerah antara 2 kurva dengan Integral

Jika terdapat 2 kurva sebagai batas daerah, seperti gambar berikut contohnya,

Maka luas daerah yang diarsir bisa dihitung dengan rumusan,

$ \, L= \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $

Soal 4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?

Pembahasan:

Jika gambarkan akan diperoleh,

Batas daerah paling kiri dan paling kanan terlihat adalah perpotongan dua kurva. Untuk mencari titik potong dua kurva tersebut bisa dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $

Ini akan menjadi interval atau batas integral. Dimana bisa dihitung sebagai berikut,

$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^4 [( x^2 - 2x ) - ( 6x-x^2) ] dx \\ & = \int \limits_0^4 ( 2x^2 - 8x ) dx \\ & = [ \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 ]_0^4 \\ & = 21\frac{1}{3} \end{align} $

Lalu bagaimana jika kita mengambil patokan sumbu y? Misalkan anda memiliki grafik sebagai berikut: