Pembuktian Teorema Dasar Kalkulus I

martha yunanda integral

Teorema yang akan dipakai untuk pembuktian teorema dasar kalkulus (disebut juga teorema fundamental) ini adalah sifat penambahan interval pada sebuah integral.
(i) Bila f adalah fungsi yang di integralkan pada interval tertentu dan memuat a,b dan c, maka:

$\int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx$ .

(ii) Sementara itu turunan fungsi F bisa ditulis

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x)$

(iii) teorema apit
Jika

$k \leq f(x) \leq k , \,$ maka

$f(x) = k$

Pembuktian Teorema Dasar Kalkulus I

Bunyi teorema fundamental kalkulus 1 yaitu,
Jika f kontinu pada [a, b] dan x sebarang titik di (a, b),maka berlaku :

$\frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x)$

Pembuktian:
Dinyatakan

$F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt , \,$ maka bentuk

$\begin{align} F(x+h) & = \int \limits_a^{x+h} f(t) dt \\ & = \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \, \, \, \, \, \text{....pers(1)} \end{align}$
dimana h adalah bilangan real positif.

Pengurangan

$F(h+h)$ dengan

$F(x)$ ,

$\begin{align} F(x+h) - F(x) & = \left( \int \limits_a^{x} f(t) dt + \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \right) - \left( \int \limits_a^x f(t) dt \right) \\ F(x+h) - F(x) & = \int \limits_x^{x+h} f(t) dt \end{align}$
Misalkan:
m = nilai minimum fungsi f(x) untuk x di [a,b]
M = nilai maksimum fungsi f(x) untuk x di [a,b]
Ditunjukkan oleh gambar di bawah ini,

Jika diperhatikan gambar di atas, luas daerah A,B dan C bisa didefenisikan sebagai berikut,
Luas A =

$p \times l = m \times h$
Luas B = luas dibawah kurva

$y = f(t) \,$ =

$\int \limits_x^{x+h} f(t) dt = F(x+h) - F(x)$
Luas C =

$p \times l = M \times h$

Dari daerah di atas, anda juga pasti tahu hubungannya seperti berikut,

$\begin{align} \text{Luas A } \leq \, & \text{ Luas B } \leq \text{ Luas C} \\ m\times h \leq \, & F(x+h) - F(x) \leq M \times h \, \, \, \, \, \text{(bagi } h ) \\ \frac{m\times h}{h} \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \frac{M \times h }{h} \\ m \leq \, & \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq M \, \, \, \, \, \text{(beri limit)} \\ \displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \end{align}$

Saat Nilai h sangat kecil dan mendekati 0, maka

$\displaystyle \lim_{h \to 0} m = \displaystyle \lim_{h \to 0} M = f(x)$ . Sehingga bentuk

$\displaystyle \lim_{h \to 0} m \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq \displaystyle \lim_{h \to 0} M \,$ menjadi

$f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x)$

Merujuk pada teorema apit:

$f(x) \leq \, \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \leq f(x) \,$ didapatkan

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(x)$

Dari Defenisi Turunan

$F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt$ :

Definisi turunan :

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = F^\prime (x) = \frac{d}{dx}F(x)$

Terakhir penyelesain pembuktian ditulis,

$\begin{align} \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} & = f(x) \\ \frac{d}{dx}F(x) & = f(x) \, \ , \, \, \, \, \, \text{ (substitusi } F(x) = \int \limits_a^x f(t) dt ) \\ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt & = f(x) \end{align}$

Terbukti