Soal Proyeksi Vektor, Jarak Titik serta Luas Segitiga yang Terbentuk

martha yunanda contoh soal, vektor

Mengisi kekosongan sudah lama tidak mengisi blog ini. Berikut ini saya diberikan sebuah soal yang cukup complicated tentang vektor. Soal vektor ini terbilang lengkap sekali, karena hanya satu soal tetapi akan diselesaikan banyak pertanyaan.

Soal:
Diketahui titik A (2,-1,6) B(3,0,3) dan C (4,6,2). Tentukan:
a) Sinus ∠ABC,
b) Proyeksi skalar vektor $ \vec {BA}$ terhadap vektor $ \vec {BC}$
c) Proyeksi vektor $ \vec {BC}$ terhadap $ \vec {BA}$
d) Jarak titik A ke $ \vec {BC}$
e) Luas Segitiga ABC

Pembahasan:
a) Sin ∠ABC,
Jika kita sketsa maka bisa terlihat seperti berikut, (karena sketsa,silakan digambar segitiga sebagaimana hati anda senang)

Di sini akan kita cari sudut B. Sudut B adalah sudut antara BA dan BC, artinya kita butuh vektor BA dan vektor BC. Kita akan cari terlebih dahulu,
$ \vec {BA} = A-B= (2,-1,6) - (3,0,3) = (-1,-1,3)$
$|BA| = \sqrt {(-1)^2+(-1)^2+3^2}= \sqrt {11}$
$ \vec {BC} = C-B= (4,6,2) - (3,0,3) = (1,6,-1)$
$|BC| = \sqrt {1^2+6^2+(-1)^2} = \sqrt {38}$

Sesuai rumus perkalian vektor:
$\vec {BA} . \vec {BC} = | \vec {BA}||\vec {BC}| \cos \angle ABC \\ (-1,-1,3) . (1,6,-1) = \sqrt {11}. \sqrt {38}. \cos \angle ABC \\ -10 = \sqrt {11}. \sqrt {38}. \cos \angle ABC \\ \cos \angle ABC = \frac {-10}{\sqrt {11}. \sqrt {38}}$

Lalu gunakan identitas trigonometri dimana:
$sin^ 2 x+cos^2x =1 \\ sin^2x =1-cos^2x \\ sin^ 2 \angle ABC = 1- cos ^2 \angle ABC \\ 1- (\frac {-10}{\sqrt {11}. \sqrt {38}})^2 = \frac {408}{418} \\ sin \angle ABC = \sqrt {\frac {408}{418}}$
Untuk merasionalkan bentuk akar di atas anda usahakan sendiri ya.

b). Untuk proyeksi skalar vektor, perhatikan ini terlebih dahulu,

Sekarang kita akan cari Proyeksi skalar vektor $ \vec {BA}$ terhadap vektor $ \vec {BC}$, dengan demikian bisa disesuaikan rumusnya,
$| \vec p| = \frac {\vec {BA}.\vec {BC}} { |\vec {BC}} \\ | \vec p| = \frac {-10}{ \sqrt {38}}$

Anda lanjutkan merasionalkan bentuk akar tersebut kembali. Untuk nilai $\vec {BA}.\vec {BC}=-10$ kita sudah cari pada bagian soal a bukan?

c) Proyeksi vektor $ \vec {BC}$ terhadap $ \vec {BA}$
Perjatikan rumus di bagian b, rumus kedua. Karena TERHADAP $\vec {BA}$, kita bisa tulis rumusnya (bagian setelah kata 'terhadap'/ke/pada/' selalu jadi penyebut).
$ \vec p = \frac {\vec {BC}.\vec {BA}} { |\vec {BA}|^2}. \vec {BA} \\ \vec p= \frac {-10}{ 11} (-1,-1,3) $

d) Jarak titik A ke vektor $ \vec {BC}$
Jarak titik A ke BC, sebelumnya perhatikan gambar di bawah ini.

Jarak titik A ke BC ditunjukkan oleh garis merah, misalkan dengan x. Kita akan cari nilai x tersebut.
Anda bisa perhatikan ada garis biru. Garis biru tersebut adalah panjang proyeksi (proyeksi skalar) vektor BA terhadap BC.
Panjang garis Biru (proyeksi skalar BA pada BC) anda telah cari disoal b, yaitu
$| \vec p| = \frac {-10}{ \sqrt {38}}$ (nilai negatif bisa diabaikan, karena dalam panjang-tidak mengenal negatif.

Sekarang saya potong segitiga tersebut,

Catatan:
Panjang AB anda telah cari di soal (a)
Panjang garis biru di soal (b)
Ditemukan segitiga siku-siku, sebab prinsip jarak titik ke garis " ditarik-garis melewati titik dan TEGAK LURUS sehingga memotong garis yang ada".

Anda sekarang memiliki segitiga siku siku dengan dua sisi diketahui panjangnya. Maka- kembalilah pada Teorema Phytagoras yang tidak usah saya jelaskan lagi.

d) Luas Segitiga ABC
Kebetulan yang meringankan, anda memiliki sinus sudut B. Sekarang bisa anda cari luas segitiga dengan menggunakan rumus luas segitiga yang diketahui sudut dan 2 sisi apitnya.

Kita ketahui sisi apit BA dan BC, lalu sinus-nya B. Maka rumus luas segitiga:
$L=\frac {1}{2} | \vec {BA} | | \vec {BC} \sin \angle ABC$
Keterangan: Masing masing nilai panjang BA, panjang BC dan Sin ∠ABC, anda sudah dapatkan ketika menjawab soal a. Sekarang silakan dilanjutkan berhitung sendiri.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn