Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor

martha yunanda contoh soal, vektor

Di halaman ini akan diberikan beberapa contoh soal dan pembahasan tentang proyeksi vektor. Soal ini berupa soal hitungan yang mengambil sub topik panjang proyeksi/proyeksi skalar dan proyeksi ortogonal dari sebuah vektor pada vektor lain.

Adapun rumus proyeksi vektor yang harus diingat adalah..
Misalkan vektor c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b, maka
$$|\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b$$ Selanjutnya mari kita lihat contoh soal dan pembahasan tentang panjang proyeksi dan proyeksi ortogonal vektor (soal diambil dari soal-soal SBMPTN dan Soal UN). Selain itu anda juga harus bisa melakukan perkalian dot vektor.

#Soal 1.  Diketahui a (-2,3,4) dan b (x,0,3). Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5. Maka salah satu nilai x yang memenuhi adalah...
a) -4    b) -4    c) 2   d) 4   e) 6

Pembahasan: $$\vec a(-2,3,4) \, \, \,  \vec b (x,0,3) \\ |\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \frac {4}{5}=\frac {(-2,3,4) .(x,0,3)}{\sqrt {x^2+0^2+3^2}} \\ \frac {4}{5}=\frac {-2x+3.0+3.4}{\sqrt {x^2+9}} \\ 4 \sqrt {x^2+9}=5.(-2x+12) \\ \text {kuadratkan ke-2 ruas} \\ 21x^2-300x+864=0 \\ x=4 \, \cup \, x=10,2$$

#Soal 2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
a) -4i+2j+4k
b) -2i-j-2k
c) -2/3 i -1/3 j- 2/3 k
d) -2/3 i +1/3 j+2/3 k
e) 4i-2j-4k

Pembahasan:
u(6,4,-5) dan v (-2,1,2) $$\vec {c} = \frac {\vec u .\vec v}{|\vec u|^2} .\vec v \\ \vec {c} =  \frac {(6,4,-5) .(-2,1,2)}{(\sqrt {(-2)^2+1^2+2^2})^2} (-2,1,2) \\ \vec c= \frac {-12+4-10}{9} (-2,1,2) \\ \vec c= -2(-2,1,2) \\ \vec c= (4,-2,-4) \\ \vec c = 4i-2j-4k$$

#Soal 3. Diketahui a (4,-12,-6)  dan b (4,2,-4). Jika vektor c adalah proyeksi ortogonal a pada b. Jika vektor d (2,1,x)  memiliki panjang dengan vektor c. Maka panjang x adalah...
$a) \frac {1}{3} \sqrt {3}  \\ b) \frac {1}{3} \sqrt {17} \\ c) \frac {1}{3} \sqrt {19} \\  d)  \frac {1}{3} \sqrt {23} \\ e) \frac {1}{3} \sqrt {29}$
Pembahasan:
Dengan menghitung panjang proyeksi a pada b maka didapat panjangnya 8/3.
$|c|=|d| \\ \frac {8}{3} = \sqrt {2^2+1^2+x^2} \\ \frac {8}{3} = \sqrt {5+x^2} \\ \frac {64}{9} = 5+x^2 \\ x^2=\frac {64}{9} -5 \\ x= \frac {1}{3} \sqrt {19}$

#Soal 4. Diketahui
$\vec a = 2i+xj-3k \\ \vec b= 4i+2j-4k$ Jika proyeksi a pada b 
$\vec c= \frac {8}{9}i+\frac {4}{9}j-\frac {8}{9}k \\ \text {maka nilai k=...} $
a) -6   b) -3    c) 3    d) 6    e) 8

Pembahasan:
a (2,x,-3)     ; b (4,2,-4)      c( 8/9, 4/9, -8/9)
$\vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b \\ ( \frac {8}{9}, \frac {4}{9}, -\frac {8}{9})=\frac {(2,x,-3) .(4,2,-4)}{(\sqrt {4^2+2^2+(-4)^2})^2} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} (4,2,-4)= \frac {8+2x+12}{6} .(4,2,-4)  \\ \frac {2}{9} = \frac {8+2x+12}{6} \\ x=-6 $

Tambahan: Soal Panjang dari jumlah dan selisih vektor.
Rumus yang akan digunakan: $|a \pm b|^2= |a|^2+|b|^2\pm 2|a||b| \cos \alpha$
#Soal 5. Diketahui |a|=8 , |b|=4  dan |a-b|= $6 \sqrt 3$. Maka nilai |a+2b|=...

Pembahasan:
$|a - b|^2= |a|^2+|b|^2- 2|a||b| \cos \alpha \\ (6 \sqrt 3)^2=8^2+4^2-2.8.4. \cos \alpha \\ \cos \alpha = -
 \frac {7}{16} \\ \text {uraikan |a+2b|} \\ |a+2b|^2= |a|^2+|2b|^2+2|a||2b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2=|a|^2+4|b|^2+4|a||b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2 = 8^2+4.4^2+4.8.4. - \frac {7}{16} \\ |a+2b|= 6 \sqrt 2$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn