Contoh Soal Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri

martha yunanda contoh soal, trigonometri

Setelah anda memahami bagaimana cara menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri. Sekarang kita lihat aplikasinya dalam beberapa contoh soal.

Tentukan Nilai Maksimum
a) y= 3 sin 2x+5
b) y= -2 cos 3(x+98^o)-7
c) y= 4 cos 4(x+ $\frac { \pi}{2}$ )+3

 Pembahasan:
a) y = 3 sin 2x+5
    a= 3 ; k=2 ; b=0 ; c=5
Nilai maksimum: |a|+C =3+5 = 8
Nilai Minimum: -|a|+C = -3+5 =2

Tips: Jika anda lupa dengan rumus tersebut, ada cara yang lebih mudah yaitu dengan mengganti trigonometri sin (..) dan  cos (...) dengan 1  dan -1. Ambil nilai terbesar sebagai maksimum dan nilai terkecil sebagai minimum. Perhatikan soal di atas,
 y= 3sin 2x+5 = 3.1+5 =8
 y=3(-1)+5 = 2. Diperoleh hasil maksimum 8 dan minimum 2.
Untuk membuktikannya secara grafik, berikut grafik fungsi y = 3 sin 2x+5

b) y=-2 cos3(x+98^o)-7. Kita gunakan cara 'mengganti saja'
y=-2 cos3(x+98^o)-7 = -2.1-7 =-9
y=-2 cos3(x+98^o)-7 =-2.-1 -7 =-5
Nilai maksimum -5 dan nilai minimum -9.

c) y= 4 cos 4(x+ $\frac { \pi}{2}$ )+3
y= 4 cos 4(x+ $\frac { \pi}{2}$ )+3 = 4.1+3 =7
y= 4 cos 4(x+ $\frac { \pi}{2}$ )+3=4.-1+3 =-1
Nilai maksimum 7 dan nilai minimum -1.

Pada beberapa kasus soal berkemungkinan anda diberikan fungsi trigonometri berbentuk fungsi kuadrat. Sebagai contoh  f(x)= asin²x+bsin x+C. Untuk soal seperti ini silahkan lihat nilai a terlebih dahulu.
Jika a>0

1. Nilai Minimum: Cari $sin x= \frac {-b}{2a}$ Lalu subtitusikan nilai sin yang di dapat ke persamaan. Ini juga berlaku untuk cos.
2. Nilai Maksimum - Tidak ada. (asumsi tidak ada soal tidak memiliki interval / disoal tidak diberi p<x<q
3. Jika diberi ...<x<... pada soal maka subtitusikan p dan q ke fungsi - nilai terbesar adalah nilai maksimum

Jika a<0

1. Nilai Maksimum Cari $sin x= \frac {-b}{2a}$ Lalu subtitusikan nilai sin yang di dapat ke persamaan. Ini juga berlaku untuk cos.
2. Nilai Minimum - Tidak ada. (asumsi tidak ada soal tidak memiliki interval / disoal tidak diberi p<x<q
3. Jika diberi ...<x<... pada soal maka subtitusikan p dan q ke fungsi - nilai terbesar adalah nilai minimum

Tentukan Nilai maksimum dan Minimum dari fungsi trigonometri berikut:

d)  f(x)= -sin²x+2sin x+3 pada interval $\pi< x< 2 \pi$

e) $f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2}$

Pembahasan:

d)  f(x)= -sin²x+2sin x+3 pada interval $\pi< x< 2 \pi$

a=-1 ; b=2 ; c=3. Ini akan mengikuti syarat a<0

Nilai Maksimum: $$sin x = \frac {-2}{2(-1)} =1 \\ \text {subtitusi ke persamaan} \\ y=-sin^2x+2sinx+3 \\ y_{max}= -(1)+2(1)+3 =4$$ Karena ada interval maka kita bisa cari nilai minimum, $$ y=-sin^2(\pi)+2sin(\pi)+3 = 3  \\ y=-sin^2(2 \pi)+2sin(2 \pi)+3 =3$$ Jadi nilai minimum fungsi 3.

e) $$ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \\ a=1 \, b= \sqrt 3 \, c= \frac{3}{2} \\ \text {a>0} \\ cos x = \frac {-b}{2a} \\ cos x = \frac { \sqrt 3}{2} \\  f(x) = ( \frac { \sqrt 3}{2} )^2  - \sqrt{3} ( \frac { \sqrt 3}{2} )+ \frac{3}{2} \\ f(x) = \frac {3}{4} $$

Jadi nilai minimum (karena a>0) fungsi adalah 3/4. Untuk nilai maksimum tidak bisa ditentukan karena kita tidak memiliki batasan interval.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn