Cara Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Suatu Fungsi

martha yunanda fungsi, Ilmu

nilai maksimum dan nilai minimun sebuah fungsi

Nilai maksimum dari suatu fungsi adalah nilai paling besar dari fungsi untuk semua daerah asal. Sementara nilai minimum adalah nilai terkecil dari sebuah fungsi pada daerah domain fungsi tersebut. Langkah untuk menentukan nilai maksimun dan nilai minimum fungsi adalah,

Misalkan kita memiliki fungsi y=f(x) pada interval [a,b] , maka nilai maksimum/nilai minimum bisa ditentukan dengan cara,

1) f’(x)=0 , akan didapat

$x_1 , x_2, x_3… x_n$
2) Carilah

$f(x_1) , f(x_2), f(x_3), f(x_n), f(a), f(b)$ .
3) Nilai yang paling besar pada langkah ke dua adalah nilai maksimum dan nilai terkecil adalah nilai minimum.

Note: Jika tidak diberikan interval, maka kita cukup menggunakan $f(x_1) , f(x_2), f(x_3), f(x_n)$ saja.

Agar mempermudah pemahaman tentang bagaimana cara mencari nilai maksimum dan minimum fungsi ini, bisa dilihat contoh soal dan pembahasan tentang nilai maksimum dan nilai minimum ini.

#1. Diketahui fungsi

$f(x) = -x^2 + 4x + 3$ pada interval

$-1\leq x\leq 5$ . Tentukan nilai maksimum dan nilai minimumnya

Pembahasan:
Langkah (1) :

$f(x) = -x^2 + 4x + 3 \\ f'(x) = -2x+4 \\ 0 = -2x+4 \\ 2x=4 \\ x_1 =2$
disini kita hanya memiliki

$x_1 =2$

Langkah (2):

$f(x) = -x^2 + 4x + 3 \\ f(x_1)=f(2)= -(2)^2+4(2)+3 =7 \\ f(a)=f(-1)= -(-1)^2+4(-1)+3=-2 \\ f(b)=f(5)= -(5)^2+4(5)+3=-2$

Langkah (3):
Nilai terbesar dari ada pada f(2)=7. Artinya nilai maksimum fungsi adalah 7.
Sementara nilai terkecil f(-1) = -2 dan f(5) =-2. Artinya nilai minimum fungsi adalah -2

#2. Diketahui

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 2x + 3$ . Tentukan nilai minimum dari f(x).

Pembahasan:
Langkah (1)

$f(x)= \frac {1}{3} x^3 + \frac {1}{2} x^2 -2x+3 \\ f'(x)=x^2+x-2 = 0 \\ (x+2)(x-1)=0 \\ x_1 =-2 , x_2=1$

Langkah (2) Karena tak ada interval kita tinggal memasukkan

$f(x_1), f(x_2)$

$f(x_1) = f(-2)= \frac {1}{3} (-2)^3 + \frac {1}{2} (-2)^2 -2(-2)+3= \frac {19}{3}$

$f_{x_2} = f(1) = \frac{1}{3}.1^3 + \frac{1}{2}.1^2 – 2.1 + 3 = \frac{11}{6}$

Langkah (3): Yang ditanyakan nilai minimum, jadi kita akan ambil nilai terkecil dari langkah ke-dua. Nilai terkecil adalah