Aturan Rantai pada Turunan Trigonometri

Sebagaimana turunan aljabar. Pada turunan trigonometri juga berlaku turunan rantai. Meingatkan kembali Rumus dasar turunan rantai fungsi trigonometri ini seperti berikut,

i).

$y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x)$
ii).

$y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .\sin g(x)$
iii).

$y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x)$
iv).

$y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x)$
v).

$y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x)$
vi).

$y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . \csc g(x) . \cot g(x)$

Untuk turunan rantai dengan pangkat dari fungsi trigonometri ini, berlaku rumus:
i).

$y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x)$
ii).

$y = \cos ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x)$
iii).

$y = \tan ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n \tan ^{n - 1 } g(x) . \sec ^2 g(x)$
iv).

$y = \cot ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). n. \cot ^{n -1} g(x) . \csc ^2 g(x)$
v).

$y = \sec ^{n } g(x)$

$\rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n. \sec ^{n -1 } g(x) . \sec g(x) . \tan g(x)$
vi).

$y = \csc ^{n } g(x)$

$\rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x)$

Note: bentuk

$\cos ^{n } g(x) = [\cos g(x) ]^n$
Agar memudahkan pemahaman penggunaan rumus turunan rantai trigonometri di atas, kita akan coba aplikasikan dalam bentuk contoh soal dan pembahasan turunan rantai pada trigonometri.

Soal 1. Tentukan turunan dari

$y = \sin (3x^2 + 2x - 5)$

Pembahasan:
Kita ambil permisalan:

$g(x) = 3x^2 + 2x - 5 \\ jadi \\ g^\prime (x) = 6x + 2$ Selanjutnya gunakan rumus turunan trigonometri. Sehingga kita bisa tulis.

$y = \sin ^{n } g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) \\ y = \sin (3x^2 + 2x - 5) \\ y = \sin g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) \\ y^\prime = (6x + 2) . \cos (3x^2 + 2x - 5)$

Soal 2. Tentukan Turunan dari

$y = \cot ( x^2 - x + 7 )$

Pembahasan:
Kita ambil permisalan:

$g(x) = x^2 - x + 7 \\ g^\prime (x) = 2x-1$ Selanjutnya gunakan rumus turunan rantai trigonometri, sehingga bisa ditulis

$y = \cot ( x^2 - x + 7 ) \\ y = \cot g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) \\ y^\prime = -(2x-1) . \csc ^2 (x^2 - x + 7)$

Soal 3. Tentukan turunan dari

$y = \sec ( 5x^3 + 9 )$

Pembahasan:
Silakan anda coba sendiri menyelesaikannya. Jika proses yang anda lakukan benar, akan diperoleh hasil:

$y^\prime = 15x^2 \sec ( 5x^3 + 9 ) \tan ( 5x^3 + 9 )$

Soal 4. Turunan dari

$a) \ y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ b) \ $ y = \csc ^ 5 ( x^4 + 5)$

Pembahasan:
a) Kita misalkan

$g(x) = 2x^3 - 5x + 2 \\ g^\prime (x) = 6x - 5$
Gunakan rumus turunan rantai trigonometri,

$y = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x)$

Masukkan g(x) dan g’(x) ,

$y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ y = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) \\ y^\prime = -(6x-5) . 3 . \cos ^{3 -1 } (2x^3 - 5x + 2) . \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2)$
Pada soal pilihan ganda, hasil akhir di atas bisa saja diubah dalam bentuk lain. Misalnya, coba ingat kembali trigonometri sudut ganda.

$\sin 2 g(x) = 2 \sin g(x) \cos g(x) \\ \sin g(x) \cos g(x) = \frac{1}{2} \sin 2 g(x)$ Dari hasil yang diperoleh kita bisa tulis,

$y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) \cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) ] \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin 2(2x^3 - 5x + 2) ] \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin (4x^3 - 10x + 4) ] \\ = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) . \sin (4x^3 - 10x + 4)$

b) Untuk soal b adalah bagian anda untuk berlatih. Langkahnya silakan ikuti seperti yang a. Jika proses yang dilakukan benar akan diperoleh jawaban

$y^\prime = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5)$

Soal 5. Turunan dari fungsi trigonometri

$y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }$ adalah…

Pembahasan:
Kita ubah dulu fungsinya dalam bentuk pangkat

$y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } \\ y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2}$
Selanjutnya kita buat permisalan,

$g(x) = x^2 + 5x - 1 \\ g^\prime (x) = 2x + 5$
Gunakan rumus turunan rantai trigonometri lagi

$y = \sin ^{n } g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x)$

Masukkan nilai g(x) dan g’(x).

$y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} \\ y^\prime = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{-\frac{1}{2}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x - 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }}$

Soal 6. Sebagai latihan terakhir bagi Anda, tentukan turunan dari

$y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 - 2x ) }$ Silakan ikuti proses seperti soal nomer 5. Bilasaja anda bisa melakukan proses dengan benar akan diperoleh hasil :