Soal 1. Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Bila keliling segitiga adalah x, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya adalah.
Pembahasan
Misalkan sisi segitiga s.
Keliling = 3s = x artinya s =1/3 kll.
Rumus cepat luas segitiga sama kaki: $ L= \frac {s^2}{4} \sqrt {3}$
Sekarang kita buat luas dalam fungsi x.
$$ L(x) =\frac {s^2}{4} \sqrt {3} \\ L(x)= \frac {( \frac {1}{3} x)^2 }{4} \sqrt {3} \\ L(x) = \frac {1}{36} x^2 \sqrt 3 \\ \text {kita turunkan} \\ \frac {dL}{dx} = \frac {2}{36} x \sqrt 3 \\ \frac {dL}{dx} =\frac {1}{18} x \sqrt 3 $$
Soal 2. Sebuah balon berbentuk bola sedang dipompa sehingga volumenya bertambah 100 $cm^3/detik$. Laju perubahan jari-jari balon ketika diameternya mencapai 50 cm adalah.
Pembahasan:
Diki: Kecepatan Volume $ \frac {dV}{dt} = 100 cm^3/detik$
r= 50 cm.
Dita: $ \frac {dr}{dt}$
Hasi: Sesuai sifat notasi turunan yang memenuhi sifat aljabar perkalian, kita bisa uraikan,
$$ \frac {dV}{dt} = \frac {dV}{dr}. \frac {dr}{dt} \\ \text {perhatikan volume bola} \\ V = \frac {4}{3} \pi r^3 \\ \text {turunkan terhadap r} \\ dV = 3. \frac {4}{3} \pi r^2 dr \\ \frac {dV}{dr} = 4. \pi r^2 \\ \text { balik ke persamaan di atas} \\ 100 = 4. \pi r^2. \frac {dr}{dt} \\ d=50 \rightarrow r=25 \\ 100 = 4.\pi . 25^2 \frac {dr}{dt} \\ \frac {dr}{dt} = \frac {1}{25 \pi } $$
Pembahasan:
Kita akan cari nilai x terlebih dahulu. Titikpotong sumbu x, artinya y=0. $$ y=x^3-3x^2 \\ x^2(x-3)=0 \\ x=0 \cup x=3 \\ \text {ambil x=3 karena diminta positif}$$
Selanjutnya, kita cari gradien. Sebagaimana konsep gradien, yaitu m = y’. Kita turunakan fungsi $$ y=x^3-3x^2 \\ m=y ^ \prime =3x^2-6x \\ x=3 \\ m=3.3^2-6.3 \\ m=9$$
Soal 4. Persamaan garis singgung kurva $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$ dititik (1,-3) adalah…
Pembahasan:
Rumus mencari persamaan garis adalah y-y1 = m (x-x1) dalam hal ini kita sudah memiliki x1 dan y1. Tinggal mencari m, dan m ini didapat dari turunan pertama. Ingat, m=y’. Jadi kita cari turunan $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$. Sebab berbentuk pecahan gunakan rumus turunan $\frac {u}{v}$
$$ u= 2x+1 \rightarrow u ^ \prime=2 \\ v=2-3x \rightarrow v ^ \prime = -3 \\ ( \frac {u}{v} )^ \prime = \frac {u^ \prime v- uv^ \prime }{v^2} \\ m = \frac {2(2-3x)-(-3)(2x+1) }{(2-3x)^2} \\ m = {2(2-3.1)-(-3)(2.1+1) }{(2-3.1)^2} \\ m=7 \\ \\ \text {persamaan garis} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-(-3) = 7(x-1) \\ y-7x+10 $$
Soal 5. Grafik K: $y= \frac {x+1}{x-1} $ memotong sumbu x di titik A. dan garis g menyinggung grafik K dititik A. Jika garis h melalui titik A dan tegak lurus terhadap garis g, maka persamaan garis h adalah…
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi di bawah ini
Rumus mencari persamaan garis adalah y-y1 = m (x-x1) dalam hal ini kita sudah memiliki x1 dan y1. Tinggal mencari m, dan m ini didapat dari turunan pertama. Ingat, m=y’. Jadi kita cari turunan $ y= \frac {2x+1} {2-3x}$. Sebab berbentuk pecahan gunakan rumus turunan $\frac {u}{v}$
$$ u= 2x+1 \rightarrow u ^ \prime=2 \\ v=2-3x \rightarrow v ^ \prime = -3 \\ ( \frac {u}{v} )^ \prime = \frac {u^ \prime v- uv^ \prime }{v^2} \\ m = \frac {2(2-3x)-(-3)(2x+1) }{(2-3x)^2} \\ m = {2(2-3.1)-(-3)(2.1+1) }{(2-3.1)^2} \\ m=7 \\ \\ \text {persamaan garis} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-(-3) = 7(x-1) \\ y-7x+10 $$
Soal 5. Grafik K: $y= \frac {x+1}{x-1} $ memotong sumbu x di titik A. dan garis g menyinggung grafik K dititik A. Jika garis h melalui titik A dan tegak lurus terhadap garis g, maka persamaan garis h adalah…
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi di bawah ini
Grafik K berwarna merah, dan memotong sumbu x titik A. Perpotongan dengan sumbu x artinya y=0. $$ y= \frac {x+1}{x-1} \\ 0= \frac {x+1}{x-1} \\ x=-1 \\ koordinat A(1,0) $$
Lalu ada garis g berwarna biru, menyinggung kurva di A. karena g garis singgung kita bisa tahu gradien garis g sama dengan turunan kurva. $m_g=y^ \prime \\ m_g= \frac {(x-1) – (x+1)} {(x-1)^2 } \\ m_g = \frac {-1}{2}$$
Karena garis g dan h saling tegak lurus maka berlaku $$m_g.m_h=-1 \\ \frac {-1}{2} . m_h=-1 \\ m_h=2$$
Gunakan rumus mencari persamaan garis:
$$y-y_1=m_h(x-x_1) \\ y-0=2(x-(-1) \\ y =2x+1$$
Soal 6. Jika garis singgung dititk (1,2) pada parabola $ y=ax^2+bx+4$ memiliki persamaan y=-6x+8. Tentukan nilai a dan b…
Pembahasan:
Garis singgung y=-6x+8. Gradien (m)= -6. X1= 1, y1=2.
$$m=y ^\prime = 2ax^2+b = -6 \\ x=1 \\ 2a+b=-6$$.
Titik singgung juga berada pada parabola, artinya titik (1,2) memenuhi persamaan parabola. $$ y=ax^2+bx+4 \\ 2= a.1^2+b.1+4 \\ a+b =-2 $$
Eliminasi persamaan 2a+b=-6 dan a+b=-2. Disini akan ditemukan a=-4 dan b=2.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal SBMPTN - Aplikasi Turunan"
Post a Comment